미적분 예제

$f (x) = x {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}$ ; $x = 2$

단계 1

$x = 2$ 에 상당하는 $y$ 값을 구합니다.

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단계 1.1

$x$ 에 $2$ 를 대입합니다.

$y = (2) {({(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)}^{8}$

단계 1.2

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 1.2.1

괄호를 제거합니다.

$y = 2 {(2^{2} - 4 \cdot 2 + 5)}^{8}$

단계 1.2.2

괄호를 제거합니다.

$y = (2) {({(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)}^{8}$

단계 1.2.3

$(2) {({(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)}^{8}$ 을 간단히 합니다.

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단계 1.2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.2.3.1.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = 2 {(4 - 4 \cdot 2 + 5)}^{8}$

단계 1.2.3.1.2

$- 4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y = 2 {(4 - 8 + 5)}^{8}$

단계 1.2.3.2

식을 간단히 합니다.

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단계 1.2.3.2.1

$4$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$y = 2 {(- 4 + 5)}^{8}$

단계 1.2.3.2.2

$- 4$ 를 $5$ 에 더합니다.

$y = 2 \cdot 1^{8}$

단계 1.2.3.2.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$y = 2 \cdot 1$

단계 1.2.3.2.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = 2$

단계 2

1차 도함수를 구하고 $x = 2$ , $y = 2$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

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단계 2.1

$f (x) = x$ , $g (x) = {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}] + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.2

$f (x) = x^{8}$ , $g (x) = x^{2} - 4 x + 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} - 4 x + 5$ 로 바꿉니다.

$x (\frac{d}{d u} [u^{8}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 5]) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.2.2

$n = 8$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (8 u^{7} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 5]) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.2.3

$u$ 를 모두 $x^{2} - 4 x + 5$ 로 바꿉니다.

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 5]) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3

미분합니다.

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단계 2.3.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 4 x + 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ 가 됩니다.

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5])) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5])) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3.3

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 4 x$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3.5

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4 + \frac{d}{d x} [5])) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3.6

$5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $5$ 입니다.

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4 + 0)) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3.7

$2 x - 4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4)) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4)) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \cdot 1$

단계 2.3.9

${(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4)) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}$

단계 2.4

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4)) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}$ 에서 ${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7}$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.4.1

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4))$ 에서 ${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7}$ 를 인수분해합니다.

${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (x (8 (2 x - 4))) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}$

단계 2.4.2

${(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}$ 에서 ${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7}$ 를 인수분해합니다.

${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (x (8 (2 x - 4))) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (x^{2} - 4 x + 5)$

단계 2.4.3

${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (x (8 (2 x - 4))) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (x^{2} - 4 x + 5)$ 에서 ${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7}$ 를 인수분해합니다.

${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (x (8 (2 x - 4)) + x^{2} - 4 x + 5)$

단계 2.5

$x = 2$ 일 때 도함수의 값을 계산합니다.

${({(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)}^{7} ((2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

단계 2.6

간단히 합니다.

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단계 2.6.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.6.1.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

${(4 - 4 \cdot 2 + 5)}^{7} ((2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

단계 2.6.1.2

$- 4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

${(4 - 8 + 5)}^{7} ((2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

단계 2.6.2

식을 간단히 합니다.

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단계 2.6.2.1

$4$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

${(- 4 + 5)}^{7} ((2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

단계 2.6.2.2

$- 4$ 를 $5$ 에 더합니다.

$1^{7} ((2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

단계 2.6.2.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$1 ((2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

단계 2.6.2.4

$(2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5$

단계 2.6.3

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.6.3.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$2 (8 (4 - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5$

단계 2.6.3.2

$4$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$2 (8 \cdot 0) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5$

단계 2.6.3.3

$2 (8 \cdot 0)$ 을 곱합니다.

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단계 2.6.3.3.1

$8$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$2 \cdot 0 + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5$

단계 2.6.3.3.2

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5$

단계 2.6.3.4

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$0 + 4 - 4 \cdot 2 + 5$

단계 2.6.3.5

$- 4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$0 + 4 - 8 + 5$

단계 2.6.4

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

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단계 2.6.4.1

$0$ 를 $4$ 에 더합니다.

$4 - 8 + 5$

단계 2.6.4.2

$4$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$- 4 + 5$

단계 2.6.4.3

$- 4$ 를 $5$ 에 더합니다.

$1$

단계 3

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.1

기울기 $1$ 과 주어진 점 $(2, 2)$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (2) = 1 \cdot (x - (2))$

단계 3.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y - 2 = 1 \cdot (x - 2)$

단계 3.3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$x - 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y - 2 = x - 2$

단계 3.3.2

$y$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 3.3.2.1

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$y = x - 2 + 2$

단계 3.3.2.2

$x - 2 + 2$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 3.3.2.2.1

$- 2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$y = x + 0$

단계 3.3.2.2.2

$x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y = x$

단계 4