미적분 예제

$y = 3 x^{3} - x^{2} + 6$ , $(2, 26)$

단계 1

1차 도함수를 구하고 $x = 2$ , $y = 26$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

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단계 1.1

합의 법칙에 의해 $3 x^{3} - x^{2} + 6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.2.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{3}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

단계 1.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

단계 1.2.3

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$9 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

단계 1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$9 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

단계 1.3.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$9 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [6]$

단계 1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.4.1

$6$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $6$ 입니다.

$9 x^{2} - 2 x + 0$

단계 1.4.2

$9 x^{2} - 2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$9 x^{2} - 2 x$

단계 1.5

$x = 2$ 일 때 도함수의 값을 계산합니다.

$9 {(2)}^{2} - 2 \cdot 2$

단계 1.6

간단히 합니다.

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단계 1.6.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.6.1.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$9 \cdot 4 - 2 \cdot 2$

단계 1.6.1.2

$9$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$36 - 2 \cdot 2$

단계 1.6.1.3

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$36 - 4$

단계 1.6.2

$36$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$32$

단계 2

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

기울기 $32$ 과 주어진 점 $(2, 26)$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (26) = 32 \cdot (x - (2))$

단계 2.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y - 26 = 32 \cdot (x - 2)$

단계 2.3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.3.1

$32 \cdot (x - 2)$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1.1

다시 씁니다.

$y - 26 = 0 + 0 + 32 \cdot (x - 2)$

단계 2.3.1.2

0을 더해 식을 간단히 합니다.

$y - 26 = 32 \cdot (x - 2)$

단계 2.3.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y - 26 = 32 x + 32 \cdot - 2$

단계 2.3.1.4

$32$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$y - 26 = 32 x - 64$

단계 2.3.2

$y$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 2.3.2.1

방정식의 양변에 $26$ 를 더합니다.

$y = 32 x - 64 + 26$

단계 2.3.2.2

$- 64$ 를 $26$ 에 더합니다.

$y = 32 x - 38$

단계 3