미적분 예제

$y = \frac{8 x}{x^{2} + 1}$ at the origin and at the point $(1, 4)$

단계 1

1차 도함수를 구하고 $x = 1$ , $y = 4$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

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단계 1.1

$8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{8 x}{x^{2} + 1}$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$ 입니다.

$8 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$

단계 1.2

$f (x) = x$ , $g (x) = x^{2} + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$8 \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.3

미분합니다.

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단계 1.3.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$8 \frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.3.2

$x^{2} + 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$8 \frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.3.3

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$8 \frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.3.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$8 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.3.5

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$8 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.3.6

식을 간단히 합니다.

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단계 1.3.6.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$8 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.3.6.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$8 \frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.4

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$8 \frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.5

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$8 \frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.6

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$8 \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.7

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$8 \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.8

$x^{2}$ 에서 $2 x^{2}$ 을 뺍니다.

$8 \frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.9

$8$ 와 $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{8 (- x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.10

간단히 합니다.

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단계 1.10.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{8 (- x^{2}) + 8 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.10.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.10.2.1

$- 1$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$\frac{- 8 x^{2} + 8 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.10.2.2

$8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 8 x^{2} + 8}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.11

$x = 1$ 일 때 도함수의 값을 계산합니다.

$\frac{- 8 {(1)}^{2} + 8}{{({(1)}^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.12

간단히 합니다.

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단계 1.12.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.12.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{- 8 \cdot 1 + 8}{{(1^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.12.1.2

$- 8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 8 + 8}{{(1^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.12.1.3

$- 8$ 를 $8$ 에 더합니다.

$\frac{0}{{(1^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.12.2

분모를 간단히 합니다.

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단계 1.12.2.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{0}{{(1 + 1)}^{2}}$

단계 1.12.2.2

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{0}{2^{2}}$

단계 1.12.2.3

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{0}{4}$

단계 1.12.3

$0$ 을 $4$ 로 나눕니다.

$0$

단계 2

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

기울기 $0$ 과 주어진 점 $(1, 4)$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (4) = 0 \cdot (x - (1))$

단계 2.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y - 4 = 0 \cdot (x - 1)$

단계 2.3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.3.1

$0$ 에 $x - 1$ 을 곱합니다.

$y - 4 = 0$

단계 2.3.2

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$y = 4$

단계 3