미적분 예제

Given: $x^{2} = y^{4}$ Find the equation of the tangent line at $(9, 3)$

단계 1

1차 도함수를 구하고 $x = 9$ , $y = 3$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (x^{2}) = \frac{d}{d x} (y^{4})$

단계 1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x$

단계 1.3

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$f (x) = x^{4}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [y]$

단계 1.3.1.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [y]$

단계 1.3.1.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$4 y^{3} \frac{d}{d x} [y]$

단계 1.3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$4 y^{3} y'$

단계 1.4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$2 x = 4 y^{3} y'$

단계 1.5

$y'$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

$4 y^{3} y' = 2 x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$4 y^{3} y' = 2 x$

단계 1.5.2

$4 y^{3} y' = 2 x$ 의 각 항을 $4 y^{3}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.1

$4 y^{3} y' = 2 x$ 의 각 항을 $4 y^{3}$ 로 나눕니다.

$\frac{4 y^{3} y'}{4 y^{3}} = \frac{2 x}{4 y^{3}}$

단계 1.5.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.2.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 y^{3} y'}{4 y^{3}} = \frac{2 x}{4 y^{3}}$

단계 1.5.2.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y^{3} y'}{y^{3}} = \frac{2 x}{4 y^{3}}$

단계 1.5.2.2.2

$y^{3}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y^{3} y'}{y^{3}} = \frac{2 x}{4 y^{3}}$

단계 1.5.2.2.2.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{2 x}{4 y^{3}}$

단계 1.5.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.3.1

$2$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.3.1.1

$2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{2 (x)}{4 y^{3}}$

단계 1.5.2.3.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.3.1.2.1

$4 y^{3}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{2 (x)}{2 (2 y^{3})}$

단계 1.5.2.3.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$y' = \frac{2 x}{2 (2 y^{3})}$

단계 1.5.2.3.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{x}{2 y^{3}}$

단계 1.6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y^{3}}$

단계 1.7

$y = 3$ 와 $x = 9$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $9$ 을 대입합니다.

$\frac{9}{2 y^{3}}$

단계 1.7.2

수식에서 변수 $y$ 에 $3$ 을 대입합니다.

$\frac{9}{2 {(3)}^{3}}$

단계 1.7.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.3.1

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{9}{2 \cdot 27}$

단계 1.7.3.2

$2$ 에 $27$ 을 곱합니다.

$\frac{9}{54}$

단계 1.7.4

$9$ 및 $54$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.4.1

$9$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$\frac{9 (1)}{54}$

단계 1.7.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.4.2.1

$54$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$\frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 6}$

단계 1.7.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 6}$

단계 1.7.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{6}$

단계 2

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

기울기 $\frac{1}{6}$ 과 주어진 점 $(9, 3)$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (3) = \frac{1}{6} \cdot (x - (9))$

단계 2.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y - 3 = \frac{1}{6} \cdot (x - 9)$

단계 2.3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$\frac{1}{6} \cdot (x - 9)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

다시 씁니다.

$y - 3 = 0 + 0 + \frac{1}{6} \cdot (x - 9)$

단계 2.3.1.2

0을 더해 식을 간단히 합니다.

$y - 3 = \frac{1}{6} \cdot (x - 9)$

단계 2.3.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y - 3 = \frac{1}{6} x + \frac{1}{6} \cdot - 9$

단계 2.3.1.4

$\frac{1}{6}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{6} \cdot - 9$

단계 2.3.1.5

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.5.1

$6$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{3 (2)} \cdot - 9$

단계 2.3.1.5.2

$- 9$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{3 \cdot 2} \cdot (3 \cdot - 3)$

단계 2.3.1.5.3

공약수로 약분합니다.

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{3 \cdot 2} \cdot (3 \cdot - 3)$

단계 2.3.1.5.4

수식을 다시 씁니다.

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{2} \cdot - 3$

단계 2.3.1.6

$\frac{1}{2}$ 와 $- 3$ 을 묶습니다.

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{- 3}{2}$

단계 2.3.1.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y - 3 = \frac{x}{6} - \frac{3}{2}$

단계 2.3.2

$y$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$y = \frac{x}{6} - \frac{3}{2} + 3$

단계 2.3.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $3$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{x}{6} - \frac{3}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

단계 2.3.2.3

$3$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$y = \frac{x}{6} - \frac{3}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

단계 2.3.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{x}{6} + \frac{- 3 + 3 \cdot 2}{2}$

단계 2.3.2.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.5.1

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y = \frac{x}{6} + \frac{- 3 + 6}{2}$

단계 2.3.2.5.2

$- 3$ 를 $6$ 에 더합니다.

$y = \frac{x}{6} + \frac{3}{2}$

단계 2.3.3

항을 다시 정렬합니다.

$y = \frac{1}{6} x + \frac{3}{2}$

단계 3