미적분 예제

$f (x) = 5 x - 4 x^{2}$ at $(- 1, - 9)$

단계 1

1차 도함수를 구하고 $x = - 1$ , $y = - 9$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

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단계 1.1

합의 법칙에 의해 $5 x - 4 x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [5 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.2.1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

단계 1.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

단계 1.2.3

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$5 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 4 x^{2}$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$5 - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 - 4 (2 x)$

단계 1.3.3

$2$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$5 - 8 x$

단계 1.4

항을 다시 정렬합니다.

$- 8 x + 5$

단계 1.5

$x = - 1$ 일 때 도함수의 값을 계산합니다.

$- 8 \cdot - 1 + 5$

단계 1.6

간단히 합니다.

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단계 1.6.1

$- 8$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$8 + 5$

단계 1.6.2

$8$ 를 $5$ 에 더합니다.

$13$

단계 2

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

기울기 $13$ 과 주어진 점 $(- 1, - 9)$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (- 9) = 13 \cdot (x - (- 1))$

단계 2.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y + 9 = 13 \cdot (x + 1)$

단계 2.3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.3.1

$13 \cdot (x + 1)$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1.1

다시 씁니다.

$y + 9 = 0 + 0 + 13 \cdot (x + 1)$

단계 2.3.1.2

0을 더해 식을 간단히 합니다.

$y + 9 = 13 \cdot (x + 1)$

단계 2.3.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y + 9 = 13 x + 13 \cdot 1$

단계 2.3.1.4

$13$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y + 9 = 13 x + 13$

단계 2.3.2

$y$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 2.3.2.1

방정식의 양변에서 $9$ 를 뺍니다.

$y = 13 x + 13 - 9$

단계 2.3.2.2

$13$ 에서 $9$ 을 뺍니다.

$y = 13 x + 4$

단계 3