미적분 예제

$f (x) = \frac{5}{\sqrt[3]{x^{2}}} - x$ ; , $(- 1, 6)$

단계 1

1차 도함수를 구하고 $x = - 1$ , $y = 6$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

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단계 1.1

합의 법칙에 의해 $\frac{5}{\sqrt[3]{x^{2}}} - x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{5}{\sqrt[3]{x^{2}}}] + \frac{d}{d x} [- x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{\sqrt[3]{x^{2}}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{\sqrt[3]{x^{2}}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{x^{2}}$ 을(를) $x^{\frac{2}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 1.2.2

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{5}{x^{\frac{2}{3}}}$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ 입니다.

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 1.2.3

$\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ 을 ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$5 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 1.2.4

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.2.4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{\frac{2}{3}}$ 로 바꿉니다.

$5 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]) + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 1.2.4.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]) + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 1.2.4.3

$u$ 를 모두 $x^{\frac{2}{3}}$ 로 바꿉니다.

$5 (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]) + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 1.2.5

$n = \frac{2}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 1.2.6

${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 1.2.6.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$5 (- x^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 1.2.6.2

$\frac{2}{3} \cdot - 2$ 을 곱합니다.

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단계 1.2.6.2.1

$\frac{2}{3}$ 와 $- 2$ 을 묶습니다.

$5 (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 1.2.6.2.2

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$5 (- x^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 1.2.6.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$5 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 1.2.7

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$5 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})) + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 1.2.8

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$5 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 1.2.9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$5 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 1.2.10

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.2.10.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$5 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 1.2.10.2

$2$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$5 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})) + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 1.2.11

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$5 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})) + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 1.2.12

$\frac{2}{3}$ 와 $x^{- \frac{1}{3}}$ 을 묶습니다.

$5 (- x^{- \frac{4}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 1.2.13

$\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ 와 $x^{- \frac{4}{3}}$ 을 묶습니다.

$5 (- \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} x^{- \frac{4}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 1.2.14

지수를 더하여 $x^{- \frac{1}{3}}$ 에 $x^{- \frac{4}{3}}$ 을 곱합니다.

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단계 1.2.14.1

$x^{- \frac{4}{3}}$ 를 옮깁니다.

$5 (- \frac{2 (x^{- \frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}})}{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 1.2.14.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$5 (- \frac{2 x^{- \frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 1.2.14.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$5 (- \frac{2 x^{\frac{- 4 - 1}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 1.2.14.4

$- 4$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$5 (- \frac{2 x^{\frac{- 5}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 1.2.14.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$5 (- \frac{2 x^{- \frac{5}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 1.2.15

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{5}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$5 (- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}) + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 1.2.16

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$- 5 \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 1.2.17

$- 5$ 와 $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 5 \cdot 2}{3 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 1.2.18

$- 5$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{- 10}{3 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 1.2.19

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{10}{3 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [- x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- \frac{10}{3 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{10}{3 x^{\frac{5}{3}}} - 1 \cdot 1$

단계 1.3.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{10}{3 x^{\frac{5}{3}}} - 1$

단계 1.4

항을 다시 정렬합니다.

$- 1 - \frac{10}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

단계 1.5

$x = - 1$ 일 때 도함수의 값을 계산합니다.

$- 1 - \frac{10}{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}$

단계 1.6

간단히 합니다.

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단계 1.6.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.6.1.1

분모를 간단히 합니다.

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단계 1.6.1.1.1

$- 1$ 을 ${(- 1)}^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$- 1 - \frac{10}{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

단계 1.6.1.1.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- 1 - \frac{10}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})}}$

단계 1.6.1.1.3

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.6.1.1.3.1

공약수로 약분합니다.

$- 1 - \frac{10}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})}}$

단계 1.6.1.1.3.2

수식을 다시 씁니다.

$- 1 - \frac{10}{3 {(- 1)}^{5}}$

단계 1.6.1.1.4

$- 1$ 를 $5$ 승 합니다.

$- 1 - \frac{10}{3 \cdot - 1}$

단계 1.6.1.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 1 - \frac{10}{- 3}$

단계 1.6.1.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- 1 - - \frac{10}{3}$

단계 1.6.1.4

$- - \frac{10}{3}$ 을 곱합니다.

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단계 1.6.1.4.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 1 + 1 (\frac{10}{3})$

단계 1.6.1.4.2

$\frac{10}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 1 + \frac{10}{3}$

단계 1.6.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{10}{3}$

단계 1.6.3

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{10}{3}$

단계 1.6.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- 1 \cdot 3 + 10}{3}$

단계 1.6.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.6.5.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{- 3 + 10}{3}$

단계 1.6.5.2

$- 3$ 를 $10$ 에 더합니다.

$\frac{7}{3}$

단계 2

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

기울기 $\frac{7}{3}$ 과 주어진 점 $(- 1, 6)$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (6) = \frac{7}{3} \cdot (x - (- 1))$

단계 2.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y - 6 = \frac{7}{3} \cdot (x + 1)$

단계 2.3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.3.1

$\frac{7}{3} \cdot (x + 1)$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1.1

다시 씁니다.

$y - 6 = 0 + 0 + \frac{7}{3} \cdot (x + 1)$

단계 2.3.1.2

0을 더해 식을 간단히 합니다.

$y - 6 = \frac{7}{3} \cdot (x + 1)$

단계 2.3.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y - 6 = \frac{7}{3} x + \frac{7}{3} \cdot 1$

단계 2.3.1.4

$\frac{7}{3}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$y - 6 = \frac{7 x}{3} + \frac{7}{3} \cdot 1$

단계 2.3.1.5

$\frac{7}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y - 6 = \frac{7 x}{3} + \frac{7}{3}$

단계 2.3.2

$y$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 2.3.2.1

방정식의 양변에 $6$ 를 더합니다.

$y = \frac{7 x}{3} + \frac{7}{3} + 6$

단계 2.3.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $6$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{7 x}{3} + \frac{7}{3} + 6 \cdot \frac{3}{3}$

단계 2.3.2.3

$6$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$y = \frac{7 x}{3} + \frac{7}{3} + \frac{6 \cdot 3}{3}$

단계 2.3.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{7 x}{3} + \frac{7 + 6 \cdot 3}{3}$

단계 2.3.2.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.3.2.5.1

$6$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$y = \frac{7 x}{3} + \frac{7 + 18}{3}$

단계 2.3.2.5.2

$7$ 를 $18$ 에 더합니다.

$y = \frac{7 x}{3} + \frac{25}{3}$

단계 2.3.3

항을 다시 정렬합니다.

$y = \frac{7}{3} x + \frac{25}{3}$

단계 3