미적분 예제

$f (x) = \frac{e^{x}}{x + 3}$ , $(0, \frac{1}{3})$

단계 1

1차 도함수를 구하고 $x = 0$ , $y = \frac{1}{3}$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

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단계 1.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = x + 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x + 3) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x + 3) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 1.3

미분합니다.

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단계 1.3.1

합의 법칙에 의해 $x + 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ 가 됩니다.

$\frac{(x + 3) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x + 3) e^{x} - e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 1.3.3

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$\frac{(x + 3) e^{x} - e^{x} (1 + 0)}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 1.3.4

식을 간단히 합니다.

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단계 1.3.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(x + 3) e^{x} - e^{x} \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 1.3.4.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(x + 3) e^{x} - e^{x}}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 1.4

간단히 합니다.

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단계 1.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x e^{x} + 3 e^{x} - e^{x}}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 1.4.2

$3 e^{x}$ 에서 $e^{x}$ 을 뺍니다.

$\frac{x e^{x} + 2 e^{x}}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 1.4.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{e^{x} x + 2 e^{x}}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 1.4.4

$e^{x} x + 2 e^{x}$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.4.4.1

$e^{x} x$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{x} (x) + 2 e^{x}}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 1.4.4.2

$2 e^{x}$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{x} (x) + e^{x} \cdot 2}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 1.4.4.3

$e^{x} (x) + e^{x} \cdot 2$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{x} (x + 2)}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 1.5

$x = 0$ 일 때 도함수의 값을 계산합니다.

$\frac{e^{0} ((0) + 2)}{{((0) + 3)}^{2}}$

단계 1.6

간단히 합니다.

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단계 1.6.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.6.1.1

$0$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{e^{0} \cdot 2}{{(0 + 3)}^{2}}$

단계 1.6.1.2

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$\frac{1 \cdot 2}{{(0 + 3)}^{2}}$

단계 1.6.1.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{{(0 + 3)}^{2}}$

단계 1.6.2

분모를 간단히 합니다.

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단계 1.6.2.1

$0$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\frac{2}{3^{2}}$

단계 1.6.2.2

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{2}{9}$

단계 2

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

기울기 $\frac{2}{9}$ 과 주어진 점 $(0, \frac{1}{3})$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (\frac{1}{3}) = \frac{2}{9} \cdot (x - (0))$

단계 2.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y - \frac{1}{3} = \frac{2}{9} \cdot (x + 0)$

단계 2.3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.3.1

$\frac{2}{9} \cdot (x + 0)$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1.1

$x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y - \frac{1}{3} = \frac{2}{9} \cdot x$

단계 2.3.1.2

$\frac{2}{9}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$y - \frac{1}{3} = \frac{2 x}{9}$

단계 2.3.2

방정식의 양변에 $\frac{1}{3}$ 를 더합니다.

$y = \frac{2 x}{9} + \frac{1}{3}$

단계 2.3.3

항을 다시 정렬합니다.

$y = \frac{2}{9} x + \frac{1}{3}$

단계 3