미적분 예제

$y = \frac{25}{x^{2}}$ at the point $(5, 1)$

단계 1

1차 도함수를 구하고 $x = 5$ , $y = 1$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

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단계 1.1

$25$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{25}{x^{2}}$ 의 미분은 $25 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ 입니다.

$25 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

단계 1.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 1.2.1

$\frac{1}{x^{2}}$ 을 ${(x^{2})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$25 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

단계 1.2.2

${(x^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 1.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$25 \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

단계 1.2.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$25 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

단계 1.3

$n = - 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$25 (- 2 x^{- 3})$

단계 1.4

$- 2$ 에 $25$ 을 곱합니다.

$- 50 x^{- 3}$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- 50 \frac{1}{x^{3}}$

단계 1.5.2

항을 묶습니다.

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단계 1.5.2.1

$- 50$ 와 $\frac{1}{x^{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 50}{x^{3}}$

단계 1.5.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{50}{x^{3}}$

단계 1.6

$x = 5$ 일 때 도함수의 값을 계산합니다.

$- \frac{50}{{(5)}^{3}}$

단계 1.7

간단히 합니다.

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단계 1.7.1

$5$ 를 $3$ 승 합니다.

$- \frac{50}{125}$

단계 1.7.2

$50$ 및 $125$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.7.2.1

$50$ 에서 $25$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{25 (2)}{125}$

단계 1.7.2.2

공약수로 약분합니다.

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단계 1.7.2.2.1

$125$ 에서 $25$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{25 \cdot 2}{25 \cdot 5}$

단계 1.7.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$- \frac{25 \cdot 2}{25 \cdot 5}$

단계 1.7.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{2}{5}$

단계 2

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

기울기 $- \frac{2}{5}$ 과 주어진 점 $(5, 1)$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (1) = - \frac{2}{5} \cdot (x - (5))$

단계 2.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y - 1 = - \frac{2}{5} \cdot (x - 5)$

단계 2.3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.3.1

$- \frac{2}{5} \cdot (x - 5)$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1.1

다시 씁니다.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{2}{5} \cdot (x - 5)$

단계 2.3.1.2

항을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y - 1 = - \frac{2}{5} x - \frac{2}{5} \cdot - 5$

단계 2.3.1.2.2

$x$ 와 $\frac{2}{5}$ 을 묶습니다.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 2}{5} - \frac{2}{5} \cdot - 5$

단계 2.3.1.2.3

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.3.1.2.3.1

$- \frac{2}{5}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 2}{5} + \frac{- 2}{5} \cdot - 5$

단계 2.3.1.2.3.2

$- 5$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 2}{5} + \frac{- 2}{5} \cdot (5 (- 1))$

단계 2.3.1.2.3.3

공약수로 약분합니다.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 2}{5} + \frac{- 2}{5} \cdot (5 \cdot - 1)$

단계 2.3.1.2.3.4

수식을 다시 씁니다.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 2}{5} - 2 \cdot - 1$

단계 2.3.1.2.4

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 2}{5} + 2$

단계 2.3.1.3

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$y - 1 = - \frac{2 x}{5} + 2$

단계 2.3.2

$y$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 2.3.2.1

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$y = - \frac{2 x}{5} + 2 + 1$

단계 2.3.2.2

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$y = - \frac{2 x}{5} + 3$

단계 2.3.3

$y = m x + b$ 형태로 씁니다.

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단계 2.3.3.1

항을 다시 정렬합니다.

$y = - (\frac{2}{5} x) + 3$

단계 2.3.3.2

괄호를 제거합니다.

$y = - \frac{2}{5} x + 3$

단계 3