미적분 예제

$y = \frac{14}{(1 + e^{- x})}$ , $(0, 7)$

단계 1

1차 도함수를 구하고 $x = 0$ , $y = 7$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

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단계 1.1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.1

$14$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{14}{1 + e^{- x}}$ 의 미분은 $14 \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + e^{- x}}]$ 입니다.

$14 \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + e^{- x}}]$

단계 1.1.2

$\frac{1}{1 + e^{- x}}$ 을 ${(1 + e^{- x})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$14 \frac{d}{d x} [{(1 + e^{- x})}^{- 1}]$

단계 1.2

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = 1 + e^{- x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $1 + e^{- x}$ 로 바꿉니다.

$14 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + e^{- x}])$

단계 1.2.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$14 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + e^{- x}])$

단계 1.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $1 + e^{- x}$ 로 바꿉니다.

$14 (- {(1 + e^{- x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + e^{- x}])$

단계 1.3

미분합니다.

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단계 1.3.1

$- 1$ 에 $14$ 을 곱합니다.

$- 14 ({(1 + e^{- x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + e^{- x}])$

단계 1.3.2

합의 법칙에 의해 $1 + e^{- x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 가 됩니다.

$- 14 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

단계 1.3.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$- 14 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

단계 1.3.4

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 에 더합니다.

$- 14 {(1 + e^{- x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

단계 1.4

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $- x$ 로 바꿉니다.

$- 14 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x])$

단계 1.4.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 14 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x])$

단계 1.4.3

$u_{2}$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$- 14 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

단계 1.5

미분합니다.

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단계 1.5.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 14 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

단계 1.5.2

$- 1$ 에 $- 14$ 을 곱합니다.

$14 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} (\frac{d}{d x} [x]))$

단계 1.5.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$14 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} \cdot 1)$

단계 1.5.4

$e^{- x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$14 {(1 + e^{- x})}^{- 2} e^{- x}$

단계 1.6

간단히 합니다.

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단계 1.6.1

$14 {(1 + e^{- x})}^{- 2} e^{- x}$ 인수를 다시 정렬합니다.

$14 e^{- x} {(1 + e^{- x})}^{- 2}$

단계 1.6.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$14 e^{- x} \frac{1}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$

단계 1.6.3

$14 e^{- x} \frac{1}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 1.6.3.1

$\frac{1}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$ 와 $14$ 을 묶습니다.

$\frac{14}{{(1 + e^{- x})}^{2}} e^{- x}$

단계 1.6.3.2

$\frac{14}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$ 와 $e^{- x}$ 을 묶습니다.

$\frac{14 e^{- x}}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$

단계 1.7

$x = 0$ 일 때 도함수의 값을 계산합니다.

$\frac{14 e^{- (0)}}{{(1 + e^{- (0)})}^{2}}$

단계 1.8

간단히 합니다.

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단계 1.8.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.8.1.1

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{14 e^{0}}{{(1 + e^{- (0)})}^{2}}$

단계 1.8.1.2

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$\frac{14 \cdot 1}{{(1 + e^{- (0)})}^{2}}$

단계 1.8.2

분모를 간단히 합니다.

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단계 1.8.2.1

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{14 \cdot 1}{{(1 + e^{0})}^{2}}$

단계 1.8.2.2

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$\frac{14 \cdot 1}{{(1 + 1)}^{2}}$

단계 1.8.2.3

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{14 \cdot 1}{2^{2}}$

단계 1.8.2.4

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{14 \cdot 1}{4}$

단계 1.8.3

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

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단계 1.8.3.1

$14$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{14}{4}$

단계 1.8.3.2

$14$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.8.3.2.1

$14$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (7)}{4}$

단계 1.8.3.2.2

공약수로 약분합니다.

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단계 1.8.3.2.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 2}$

단계 1.8.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 2}$

단계 1.8.3.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{7}{2}$

단계 2

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

기울기 $\frac{7}{2}$ 과 주어진 점 $(0, 7)$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (7) = \frac{7}{2} \cdot (x - (0))$

단계 2.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y - 7 = \frac{7}{2} \cdot (x + 0)$

단계 2.3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.3.1

$\frac{7}{2} \cdot (x + 0)$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1.1

$x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y - 7 = \frac{7}{2} \cdot x$

단계 2.3.1.2

$\frac{7}{2}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$y - 7 = \frac{7 x}{2}$

단계 2.3.2

방정식의 양변에 $7$ 를 더합니다.

$y = \frac{7 x}{2} + 7$

단계 2.3.3

항을 다시 정렬합니다.

$y = \frac{7}{2} x + 7$

단계 3