미적분 예제

$y = \frac{e^{6 x}}{x}$ , $(\frac{1}{6}, 6 e)$

단계 1

1차 도함수를 구하고 $x = \frac{1}{6}$ , $y = 6 e$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$f (x) = e^{6 x}$ , $g (x) = x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x \frac{d}{d x} [e^{6 x}] - e^{6 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 1.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 6 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $6 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [6 x]) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 1.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x (e^{u} \frac{d}{d x} [6 x]) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 1.2.3

$u$ 를 모두 $6 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{x (e^{6 x} \frac{d}{d x} [6 x]) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 1.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{x (e^{6 x} (6 \frac{d}{d x} [x])) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x (e^{6 x} (6 \cdot 1)) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 1.3.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.1

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x (e^{6 x} \cdot 6) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 1.3.3.2

$e^{6 x}$ 의 왼쪽으로 $6$ 이동하기

$\frac{x (6 \cdot e^{6 x}) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 1.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x (6 e^{6 x}) - e^{6 x} \cdot 1}{x^{2}}$

단계 1.3.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x (6 e^{6 x}) - e^{6 x}}{x^{2}}$

단계 1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{6 x e^{6 x} - e^{6 x}}{x^{2}}$

단계 1.4.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{6 e^{6 x} x - e^{6 x}}{x^{2}}$

단계 1.4.3

$6 e^{6 x} x - e^{6 x}$ 에서 $e^{6 x}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.3.1

$6 e^{6 x} x$ 에서 $e^{6 x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{6 x} (6 x) - e^{6 x}}{x^{2}}$

단계 1.4.3.2

$- e^{6 x}$ 에서 $e^{6 x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{6 x} (6 x) + e^{6 x} \cdot - 1}{x^{2}}$

단계 1.4.3.3

$e^{6 x} (6 x) + e^{6 x} \cdot - 1$ 에서 $e^{6 x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{6 x} (6 x - 1)}{x^{2}}$

단계 1.5

$x = \frac{1}{6}$ 일 때 도함수의 값을 계산합니다.

$\frac{e^{6 (\frac{1}{6})} (6 (\frac{1}{6}) - 1)}{{(\frac{1}{6})}^{2}}$

단계 1.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.1.1

$6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{6 (\frac{1}{6})} (6 (\frac{1}{6}) - 1)}{{(\frac{1}{6})}^{2}}$

단계 1.6.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{e^{6 (\frac{1}{6})} (1 - 1)}{{(\frac{1}{6})}^{2}}$

단계 1.6.1.2

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{e^{6 (\frac{1}{6})} \cdot 0}{{(\frac{1}{6})}^{2}}$

단계 1.6.1.3

$6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.1.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{6 (\frac{1}{6})} \cdot 0}{{(\frac{1}{6})}^{2}}$

단계 1.6.1.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{e^{1} \cdot 0}{{(\frac{1}{6})}^{2}}$

단계 1.6.1.4

간단히 합니다.

$\frac{e \cdot 0}{{(\frac{1}{6})}^{2}}$

단계 1.6.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.2.1

$\frac{1}{6}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{e \cdot 0}{\frac{1^{2}}{6^{2}}}$

단계 1.6.2.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{e \cdot 0}{\frac{1}{6^{2}}}$

단계 1.6.2.3

$6$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{e \cdot 0}{\frac{1}{36}}$

단계 1.6.3

$e$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{0}{\frac{1}{36}}$

단계 1.6.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$0 \cdot 36$

단계 1.6.5

$0$ 에 $36$ 을 곱합니다.

$0$

단계 2

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

기울기 $0$ 과 주어진 점 $(\frac{1}{6}, 6 e)$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (6 e) = 0 \cdot (x - (\frac{1}{6}))$

단계 2.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y - 6 e = 0 \cdot (x - \frac{1}{6})$

단계 2.3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$0$ 에 $x - \frac{1}{6}$ 을 곱합니다.

$y - 6 e = 0$

단계 2.3.2

방정식의 양변에 $6 e$ 를 더합니다.

$y = 6 e$

단계 3