미적분 예제

$f (x) = {(5 x + 1)}^{2}$ ;, $(0, 1)$

단계 1

1차 도함수를 구하고 $x = 0$ , $y = 1$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

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단계 1.1

${(5 x + 1)}^{2}$ 을 $(5 x + 1) (5 x + 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [(5 x + 1) (5 x + 1)]$

단계 1.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(5 x + 1) (5 x + 1)$ 를 전개합니다.

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단계 1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [5 x (5 x + 1) + 1 (5 x + 1)]$

단계 1.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [5 x (5 x) + 5 x \cdot 1 + 1 (5 x + 1)]$

단계 1.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [5 x (5 x) + 5 x \cdot 1 + 1 (5 x) + 1 \cdot 1]$

단계 1.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.3.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [5 \cdot 5 x \cdot x + 5 x \cdot 1 + 1 (5 x) + 1 \cdot 1]$

단계 1.3.1.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 1.3.1.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{d}{d x} [5 \cdot 5 (x \cdot x) + 5 x \cdot 1 + 1 (5 x) + 1 \cdot 1]$

단계 1.3.1.2.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [5 \cdot 5 x^{2} + 5 x \cdot 1 + 1 (5 x) + 1 \cdot 1]$

단계 1.3.1.3

$5$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [25 x^{2} + 5 x \cdot 1 + 1 (5 x) + 1 \cdot 1]$

단계 1.3.1.4

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [25 x^{2} + 5 x + 1 (5 x) + 1 \cdot 1]$

단계 1.3.1.5

$5 x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [25 x^{2} + 5 x + 5 x + 1 \cdot 1]$

단계 1.3.1.6

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [25 x^{2} + 5 x + 5 x + 1]$

단계 1.3.2

$5 x$ 를 $5 x$ 에 더합니다.

$\frac{d}{d x} [25 x^{2} + 10 x + 1]$

단계 1.4

합의 법칙에 의해 $25 x^{2} + 10 x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [25 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [25 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.5

$25$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $25 x^{2}$ 의 미분은 $25 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$25 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.6

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$25 (2 x) + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.7

$2$ 에 $25$ 을 곱합니다.

$50 x + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.8

$10$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $10 x$ 의 미분은 $10 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$50 x + 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$50 x + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.10

$10$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$50 x + 10 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.11

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$50 x + 10 + 0$

단계 1.12

$50 x + 10$ 를 $0$ 에 더합니다.

$50 x + 10$

단계 1.13

$x = 0$ 일 때 도함수의 값을 계산합니다.

$50 (0) + 10$

단계 1.14

간단히 합니다.

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단계 1.14.1

$50$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 + 10$

단계 1.14.2

$0$ 를 $10$ 에 더합니다.

$10$

단계 2

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

기울기 $10$ 과 주어진 점 $(0, 1)$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (1) = 10 \cdot (x - (0))$

단계 2.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y - 1 = 10 \cdot (x + 0)$

단계 2.3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.3.1

$x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y - 1 = 10 x$

단계 2.3.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$y = 10 x + 1$

단계 3