미적분 예제

$y = \sqrt{2 x}$ at $(18, 6)$

단계 1

1차 도함수를 구하고 $x = 18$ , $y = 6$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

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단계 1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2 x}$ 을(를) ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 1.1.2

$2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d}{d x} [{(2 (x))}^{\frac{1}{2}}]$

단계 1.1.3

$2 (x)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

단계 1.2

$2^{\frac{1}{2}}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ 의 미분은 $2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 입니다.

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

단계 1.3

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

단계 1.4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

단계 1.5

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

단계 1.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

단계 1.7

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.7.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

단계 1.7.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

단계 1.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

단계 1.9

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$2^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

단계 1.10

$2^{\frac{1}{2}}$ 와 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{2^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

단계 1.11

식을 간단히 합니다.

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단계 1.11.1

음의 지수 법칙 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 을 활용하여 $2^{\frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}}$

단계 1.11.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.12

지수를 더하여 $2$ 에 $2^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 1.12.1

$2$ 에 $2^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 1.12.1.1

$2$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.12.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{2^{1 - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.12.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{1}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.12.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2^{\frac{2 - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.12.4

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.13

$x = 18$ 일 때 도함수의 값을 계산합니다.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} {(18)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.14

괄호를 제거합니다.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}}$

단계 2

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

기울기 $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}}$ 과 주어진 점 $(18, 6)$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (6) = \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} \cdot (x - (18))$

단계 2.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y - 6 = \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} \cdot (x - 18)$

단계 2.3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.3.1

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} \cdot (x - 18)$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1.1

다시 씁니다.

$y - 6 = 0 + 0 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} \cdot (x - 18)$

단계 2.3.1.2

항을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y - 6 = \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} x + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} \cdot - 18$

단계 2.3.1.2.2

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} \cdot - 18$

단계 2.3.1.2.3

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}}$ 와 $- 18$ 을 묶습니다.

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 18}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}}$

단계 2.3.1.3

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} - \frac{18}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}}$

단계 2.3.1.3.2

음의 지수 법칙 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 을 활용하여 $18^{\frac{1}{2}}$ 를 분자로 이동합니다.

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} - \frac{18 \cdot 18^{- \frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}}$

단계 2.3.1.3.3

지수를 더하여 $18$ 에 $18^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 2.3.1.3.3.1

$18$ 에 $18^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 2.3.1.3.3.1.1

$18$ 를 $1$ 승 합니다.

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} - \frac{18^{1} \cdot 18^{- \frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}}$

단계 2.3.1.3.3.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} - \frac{18^{1 - \frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}}$

단계 2.3.1.3.3.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} - \frac{18^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}}$

단계 2.3.1.3.3.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} - \frac{18^{\frac{2 - 1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}}$

단계 2.3.1.3.3.4

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} - \frac{18^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}}$

단계 2.3.1.3.4

몫의 미분 법칙 $\frac{a^{m}}{b^{m}} = {(\frac{a}{b})}^{m}$ 의 거듭제곱을 활용합니다.

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} - {(\frac{18}{2})}^{\frac{1}{2}}$

단계 2.3.1.3.5

$18$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} - 9^{\frac{1}{2}}$

단계 2.3.1.3.6

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} - {(3^{2})}^{\frac{1}{2}}$

단계 2.3.1.3.7

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} - 3^{2 (\frac{1}{2})}$

단계 2.3.1.3.8

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.3.1.3.8.1

공약수로 약분합니다.

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} - 3^{2 (\frac{1}{2})}$

단계 2.3.1.3.8.2

수식을 다시 씁니다.

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} - 3^{1}$

단계 2.3.1.3.9

지수값을 계산합니다.

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3$

단계 2.3.1.3.10

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} - 3$

단계 2.3.2

$y$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 2.3.2.1

방정식의 양변에 $6$ 를 더합니다.

$y = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} - 3 + 6$

단계 2.3.2.2

$- 3$ 를 $6$ 에 더합니다.

$y = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} + 3$

단계 2.3.3

항을 다시 정렬합니다.

$y = \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} x + 3$

단계 3