미적분 예제

$f (x) = x \sin (10 x)$ at $x = π$

단계 1

$x = π$ 에 상당하는 $y$ 값을 구합니다.

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단계 1.1

$x$ 에 $π$ 를 대입합니다.

$y = (π) \sin (10 (π))$

단계 1.2

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 1.2.1

$10$ 에 $π$ 을 곱합니다.

$y = π \sin (10 π)$

단계 1.2.2

괄호를 제거합니다.

$y = (π) \sin (10 (π))$

단계 1.2.3

$(π) \sin (10 (π))$ 을 간단히 합니다.

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단계 1.2.3.1

각이 $0$ 보다 크거나 같고 $2 π$ 보다 작을 때까지 한 바퀴인 $2 π$ 를 여러 번 뺍니다.

$y = π \sin (0)$

단계 1.2.3.2

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$y = π \cdot 0$

단계 1.2.3.3

$π$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$y = 0$

단계 2

1차 도함수를 구하고 $x = π$ , $y = 0$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

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단계 2.1

$f (x) = x$ , $g (x) = \sin (10 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x \frac{d}{d x} [\sin (10 x)] + \sin (10 x) \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.2

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 10 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $10 x$ 로 바꿉니다.

$x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [10 x]) + \sin (10 x) \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.2.2

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\cos (u)$ 입니다.

$x (\cos (u) \frac{d}{d x} [10 x]) + \sin (10 x) \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.2.3

$u$ 를 모두 $10 x$ 로 바꿉니다.

$x (\cos (10 x) \frac{d}{d x} [10 x]) + \sin (10 x) \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3

미분합니다.

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단계 2.3.1

$10$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $10 x$ 의 미분은 $10 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$x (\cos (10 x) (10 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (10 x) \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (\cos (10 x) (10 \cdot 1)) + \sin (10 x) \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3.3

식을 간단히 합니다.

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단계 2.3.3.1

$10$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x (\cos (10 x) \cdot 10) + \sin (10 x) \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3.3.2

$\cos (10 x)$ 의 왼쪽으로 $10$ 이동하기

$x (10 \cdot \cos (10 x)) + \sin (10 x) \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (10 \cos (10 x)) + \sin (10 x) \cdot 1$

단계 2.3.5

식을 간단히 합니다.

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단계 2.3.5.1

$\sin (10 x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x (10 \cos (10 x)) + \sin (10 x)$

단계 2.3.5.2

항을 다시 정렬합니다.

$10 x \cos (10 x) + \sin (10 x)$

단계 2.4

$x = π$ 일 때 도함수의 값을 계산합니다.

$10 (π) \cos (10 (π)) + \sin (10 (π))$

단계 2.5

간단히 합니다.

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단계 2.5.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.5.1.1

각이 $0$ 보다 크거나 같고 $2 π$ 보다 작을 때까지 한 바퀴인 $2 π$ 를 여러 번 뺍니다.

$10 π \cos (0) + \sin (10 (π))$

단계 2.5.1.2

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$10 π \cdot 1 + \sin (10 (π))$

단계 2.5.1.3

$10$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$10 π + \sin (10 (π))$

단계 2.5.1.4

각이 $0$ 보다 크거나 같고 $2 π$ 보다 작을 때까지 한 바퀴인 $2 π$ 를 여러 번 뺍니다.

$10 π + \sin (0)$

단계 2.5.1.5

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$10 π + 0$

단계 2.5.2

$10 π$ 를 $0$ 에 더합니다.

$10 π$

단계 3

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.1

기울기 $10 π$ 과 주어진 점 $(π, 0)$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (0) = 10 π \cdot (x - (π))$

단계 3.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y + 0 = 10 π \cdot (x - π)$

단계 3.3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.3.1

$y$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y = 10 π \cdot (x - π)$

단계 3.3.2

$10 π \cdot (x - π)$ 을 간단히 합니다.

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단계 3.3.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y = 10 π x + 10 π (- π)$

단계 3.3.2.2

$10 π (- π)$ 을 곱합니다.

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단계 3.3.2.2.1

$- 1$ 에 $10$ 을 곱합니다.

$y = 10 π x - 10 π π$

단계 3.3.2.2.2

$π$ 를 $1$ 승 합니다.

$y = 10 π x - 10 (π^{1} π)$

단계 3.3.2.2.3

$π$ 를 $1$ 승 합니다.

$y = 10 π x - 10 (π^{1} π^{1})$

단계 3.3.2.2.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y = 10 π x - 10 π^{1 + 1}$

단계 3.3.2.2.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$y = 10 π x - 10 π^{2}$

단계 4