미적분 예제

$f (x) = (- 5 x^{2} + 5 x - 2) (- 2 x + 3)$ , $x = 0$

단계 1

$x = 0$ 에 상당하는 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$x$ 에 $0$ 를 대입합니다.

$y = (- 5 {(0)}^{2} + 5 (0) - 2) (- 2 \cdot 0 + 3)$

단계 1.2

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

괄호를 제거합니다.

$y = (- 5 \cdot 0^{2} + 5 (0) - 2) (- 2 \cdot 0 + 3)$

단계 1.2.2

괄호를 제거합니다.

$y = (- 5 {(0)}^{2} + 5 (0) - 2) (- 2 \cdot 0 + 3)$

단계 1.2.3

$(- 5 {(0)}^{2} + 5 (0) - 2) (- 2 \cdot 0 + 3)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.2.3.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$y = (- 5 \cdot 0 + 5 (0) - 2) (- 2 \cdot 0 + 3)$

단계 1.2.3.1.2

$- 5$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$y = (0 + 5 (0) - 2) (- 2 \cdot 0 + 3)$

단계 1.2.3.1.3

$5$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$y = (0 + 0 - 2) (- 2 \cdot 0 + 3)$

단계 1.2.3.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y = (0 - 2) (- 2 \cdot 0 + 3)$

단계 1.2.3.2.2

$0$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$y = - 2 (- 2 \cdot 0 + 3)$

단계 1.2.3.2.3

$- 2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$y = - 2 (0 + 3)$

단계 1.2.3.2.4

$0$ 를 $3$ 에 더합니다.

$y = - 2 \cdot 3$

단계 1.2.3.2.5

$- 2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$y = - 6$

단계 2

1차 도함수를 구하고 $x = 0$ , $y = - 6$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

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단계 2.1

$f (x) = - 5 x^{2} + 5 x - 2$ , $g (x) = - 2 x + 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(- 5 x^{2} + 5 x - 2) \frac{d}{d x} [- 2 x + 3] + (- 2 x + 3) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} + 5 x - 2]$

단계 2.2

미분합니다.

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단계 2.2.1

합의 법칙에 의해 $- 2 x + 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ 가 됩니다.

$(- 5 x^{2} + 5 x - 2) (\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]) + (- 2 x + 3) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} + 5 x - 2]$

단계 2.2.2

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$(- 5 x^{2} + 5 x - 2) (- 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + (- 2 x + 3) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} + 5 x - 2]$

단계 2.2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(- 5 x^{2} + 5 x - 2) (- 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) + (- 2 x + 3) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} + 5 x - 2]$

단계 2.2.4

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(- 5 x^{2} + 5 x - 2) (- 2 + \frac{d}{d x} [3]) + (- 2 x + 3) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} + 5 x - 2]$

단계 2.2.5

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$(- 5 x^{2} + 5 x - 2) (- 2 + 0) + (- 2 x + 3) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} + 5 x - 2]$

단계 2.2.6

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.6.1

$- 2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(- 5 x^{2} + 5 x - 2) \cdot - 2 + (- 2 x + 3) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} + 5 x - 2]$

단계 2.2.6.2

$- 5 x^{2} + 5 x - 2$ 의 왼쪽으로 $- 2$ 이동하기

$- 2 \cdot (- 5 x^{2} + 5 x - 2) + (- 2 x + 3) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} + 5 x - 2]$

단계 2.2.7

합의 법칙에 의해 $- 5 x^{2} + 5 x - 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 가 됩니다.

$- 2 (- 5 x^{2} + 5 x - 2) + (- 2 x + 3) (\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

단계 2.2.8

$- 5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 5 x^{2}$ 의 미분은 $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$- 2 (- 5 x^{2} + 5 x - 2) + (- 2 x + 3) (- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

단계 2.2.9

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 (- 5 x^{2} + 5 x - 2) + (- 2 x + 3) (- 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

단계 2.2.10

$2$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$- 2 (- 5 x^{2} + 5 x - 2) + (- 2 x + 3) (- 10 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

단계 2.2.11

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 2 (- 5 x^{2} + 5 x - 2) + (- 2 x + 3) (- 10 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

단계 2.2.12

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 (- 5 x^{2} + 5 x - 2) + (- 2 x + 3) (- 10 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])$

단계 2.2.13

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 2 (- 5 x^{2} + 5 x - 2) + (- 2 x + 3) (- 10 x + 5 + \frac{d}{d x} [- 2])$

단계 2.2.14

$- 2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 2$ 입니다.

$- 2 (- 5 x^{2} + 5 x - 2) + (- 2 x + 3) (- 10 x + 5 + 0)$

단계 2.2.15

$- 10 x + 5$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 2 (- 5 x^{2} + 5 x - 2) + (- 2 x + 3) (- 10 x + 5)$

단계 2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- 2 (- 5 x^{2}) - 2 (5 x) - 2 \cdot - 2 + (- 2 x + 3) (- 10 x + 5)$

단계 2.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$- 2 (- 5 x^{2}) - 2 (5 x) - 2 \cdot - 2 + (- 2 x + 3) (- 10 x) + (- 2 x + 3) \cdot 5$

단계 2.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$- 2 (- 5 x^{2}) - 2 (5 x) - 2 \cdot - 2 - 2 x (- 10 x) + 3 (- 10 x) + (- 2 x + 3) \cdot 5$

단계 2.3.4

분배 법칙을 적용합니다.

$- 2 (- 5 x^{2}) - 2 (5 x) - 2 \cdot - 2 - 2 x (- 10 x) + 3 (- 10 x) - 2 x \cdot 5 + 3 \cdot 5$

단계 2.3.5

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.1

$- 5$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$10 x^{2} - 2 (5 x) - 2 \cdot - 2 - 2 x (- 10 x) + 3 (- 10 x) - 2 x \cdot 5 + 3 \cdot 5$

단계 2.3.5.2

$5$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$10 x^{2} - 10 x - 2 \cdot - 2 - 2 x (- 10 x) + 3 (- 10 x) - 2 x \cdot 5 + 3 \cdot 5$

단계 2.3.5.3

$- 2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$10 x^{2} - 10 x + 4 - 2 x (- 10 x) + 3 (- 10 x) - 2 x \cdot 5 + 3 \cdot 5$

단계 2.3.5.4

$- 10$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$10 x^{2} - 10 x + 4 + 20 x \cdot x + 3 (- 10 x) - 2 x \cdot 5 + 3 \cdot 5$

단계 2.3.5.5

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$10 x^{2} - 10 x + 4 + 20 (x^{1} x) + 3 (- 10 x) - 2 x \cdot 5 + 3 \cdot 5$

단계 2.3.5.6

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$10 x^{2} - 10 x + 4 + 20 (x^{1} x^{1}) + 3 (- 10 x) - 2 x \cdot 5 + 3 \cdot 5$

단계 2.3.5.7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$10 x^{2} - 10 x + 4 + 20 x^{1 + 1} + 3 (- 10 x) - 2 x \cdot 5 + 3 \cdot 5$

단계 2.3.5.8

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$10 x^{2} - 10 x + 4 + 20 x^{2} + 3 (- 10 x) - 2 x \cdot 5 + 3 \cdot 5$

단계 2.3.5.9

$- 10$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$10 x^{2} - 10 x + 4 + 20 x^{2} - 30 x - 2 x \cdot 5 + 3 \cdot 5$

단계 2.3.5.10

$5$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$10 x^{2} - 10 x + 4 + 20 x^{2} - 30 x - 10 x + 3 \cdot 5$

단계 2.3.5.11

$3$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$10 x^{2} - 10 x + 4 + 20 x^{2} - 30 x - 10 x + 15$

단계 2.3.5.12

$- 30 x$ 에서 $10 x$ 을 뺍니다.

$10 x^{2} - 10 x + 4 + 20 x^{2} - 40 x + 15$

단계 2.3.5.13

$10 x^{2}$ 를 $20 x^{2}$ 에 더합니다.

$30 x^{2} - 10 x + 4 - 40 x + 15$

단계 2.3.5.14

$- 10 x$ 에서 $40 x$ 을 뺍니다.

$30 x^{2} - 50 x + 4 + 15$

단계 2.3.5.15

$4$ 를 $15$ 에 더합니다.

$30 x^{2} - 50 x + 19$

단계 2.4

$x = 0$ 일 때 도함수의 값을 계산합니다.

$30 {(0)}^{2} - 50 \cdot 0 + 19$

단계 2.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$30 \cdot 0 - 50 \cdot 0 + 19$

단계 2.5.1.2

$30$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 - 50 \cdot 0 + 19$

단계 2.5.1.3

$- 50$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 + 0 + 19$

단계 2.5.2

숫자를 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.1

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$0 + 19$

단계 2.5.2.2

$0$ 를 $19$ 에 더합니다.

$19$

단계 3

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.1

기울기 $19$ 과 주어진 점 $(0, - 6)$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (- 6) = 19 \cdot (x - (0))$

단계 3.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y + 6 = 19 \cdot (x + 0)$

단계 3.3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y + 6 = 19 x$

단계 3.3.2

방정식의 양변에서 $6$ 를 뺍니다.

$y = 19 x - 6$

단계 4