미적분 예제

$y = 8 \sin (x)$ at the point $(\frac{π}{6}, 4)$

단계 1

1차 도함수를 구하고 $x = \frac{π}{6}$ , $y = 4$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

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단계 1.1

$8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $8 \sin (x)$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 입니다.

$8 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

단계 1.2

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$8 \cos (x)$

단계 1.3

$x = \frac{π}{6}$ 일 때 도함수의 값을 계산합니다.

$8 \cos (\frac{π}{6})$

단계 1.4

간단히 합니다.

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단계 1.4.1

$\cos (\frac{π}{6})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 입니다.

$8 \frac{\sqrt{3}}{2}$

단계 1.4.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.4.2.1

$8$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (4) \frac{\sqrt{3}}{2}$

단계 1.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$2 \cdot 4 \frac{\sqrt{3}}{2}$

단계 1.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$4 \sqrt{3}$

단계 2

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

기울기 $4 \sqrt{3}$ 과 주어진 점 $(\frac{π}{6}, 4)$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (4) = 4 \sqrt{3} \cdot (x - (\frac{π}{6}))$

단계 2.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y - 4 = 4 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

단계 2.3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.3.1

$4 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1.1

다시 씁니다.

$y - 4 = 0 + 0 + 4 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

단계 2.3.1.2

0을 더해 식을 간단히 합니다.

$y - 4 = 4 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

단계 2.3.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y - 4 = 4 \sqrt{3} x + 4 \sqrt{3} (- \frac{π}{6})$

단계 2.3.1.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.3.1.4.1

$- \frac{π}{6}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$y - 4 = 4 \sqrt{3} x + 4 \sqrt{3} \frac{- π}{6}$

단계 2.3.1.4.2

$4 \sqrt{3}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y - 4 = 4 \sqrt{3} x + 2 (2 \sqrt{3}) \frac{- π}{6}$

단계 2.3.1.4.3

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y - 4 = 4 \sqrt{3} x + 2 (2 \sqrt{3}) \frac{- π}{2 (3)}$

단계 2.3.1.4.4

공약수로 약분합니다.

$y - 4 = 4 \sqrt{3} x + 2 (2 \sqrt{3}) \frac{- π}{2 \cdot 3}$

단계 2.3.1.4.5

수식을 다시 씁니다.

$y - 4 = 4 \sqrt{3} x + 2 \sqrt{3} \frac{- π}{3}$

단계 2.3.1.5

$\frac{- π}{3}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$y - 4 = 4 \sqrt{3} x + \frac{- π \cdot 2}{3} \sqrt{3}$

단계 2.3.1.6

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y - 4 = 4 \sqrt{3} x + \frac{- 2 π}{3} \sqrt{3}$

단계 2.3.1.7

$\frac{- 2 π}{3}$ 와 $\sqrt{3}$ 을 묶습니다.

$y - 4 = 4 \sqrt{3} x + \frac{- 2 π \sqrt{3}}{3}$

단계 2.3.1.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y - 4 = 4 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3}}{3}$

단계 2.3.2

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$y = 4 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3}}{3} + 4$

단계 2.3.3

$y = m x + b$ 형태로 씁니다.

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단계 2.3.3.1

공통 분모를 가지는 분수로 $4$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$y = 4 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3}}{3} + 4 \cdot \frac{3}{3}$

단계 2.3.3.2

$4$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$y = 4 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3}}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3}$

단계 2.3.3.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = 4 \sqrt{3} x + \frac{- 2 π \sqrt{3} + 4 \cdot 3}{3}$

단계 2.3.3.4

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$y = 4 \sqrt{3} x + \frac{- 2 π \sqrt{3} + 12}{3}$

단계 2.3.3.5

$- 2 π \sqrt{3}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y = 4 \sqrt{3} x + \frac{- (2 π \sqrt{3}) + 12}{3}$

단계 2.3.3.6

$12$ 을 $- 1 (- 12)$ 로 바꿔 씁니다.

$y = 4 \sqrt{3} x + \frac{- (2 π \sqrt{3}) - 1 (- 12)}{3}$

단계 2.3.3.7

$- (2 π \sqrt{3}) - 1 (- 12)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y = 4 \sqrt{3} x + \frac{- (2 π \sqrt{3} - 12)}{3}$

단계 2.3.3.8

$- (2 π \sqrt{3} - 12)$ 을 $- 1 (2 π \sqrt{3} - 12)$ 로 바꿔 씁니다.

$y = 4 \sqrt{3} x + \frac{- 1 (2 π \sqrt{3} - 12)}{3}$

단계 2.3.3.9

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y = 4 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3} - 12}{3}$

단계 3