미적분 예제

$f (x) = \frac{1}{2} x \ln (x^{2})$ , $(- 1, 0)$

단계 1

1차 도함수를 구하고 $x = - 1$ , $y = 0$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

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단계 1.1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.1

$x$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2} \cdot \ln (x^{2})]$

단계 1.1.2

$\frac{x}{2}$ 와 $\ln (x^{2})$ 을 묶습니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{x \ln (x^{2})}{2}]$

단계 1.1.3

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x \ln (x^{2})}{2}$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{2})]$ 입니다.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{2})]$

단계 1.2

$f (x) = x$ , $g (x) = \ln (x^{2})$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} (x \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.3

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.3.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$\frac{1}{2} (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.3.3

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} (x (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.4

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.4.1

$\frac{1}{x^{2}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} (\frac{x}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.4.2

$x$ 및 $x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.4.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{x^{1}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.4.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{x \cdot 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.4.2.3

공약수로 약분합니다.

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단계 1.4.2.3.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{x \cdot 1}{x \cdot x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.4.2.3.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{x \cdot 1}{x \cdot x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.4.2.3.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.4.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{x} (2 x) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.4.4

항을 간단히 합니다.

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단계 1.4.4.1

$2$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{x} x + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.4.4.2

$\frac{2}{x}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} (\frac{2 x}{x} + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.4.4.3

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.4.4.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{2 x}{x} + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.4.4.3.2

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{2} (2 + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.4.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} (2 + \ln (x^{2}) \cdot 1)$

단계 1.4.6

$\ln (x^{2})$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (2 + \ln (x^{2}))$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} \cdot 2 + \frac{1}{2} \ln (x^{2})$

단계 1.5.2

항을 묶습니다.

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단계 1.5.2.1

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{2} + \frac{1}{2} \ln (x^{2})$

단계 1.5.2.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.5.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2}{2} + \frac{1}{2} \ln (x^{2})$

단계 1.5.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$1 + \frac{1}{2} \ln (x^{2})$

단계 1.5.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{2} \ln (x^{2}) + 1$

단계 1.5.4

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.5.4.1

$\frac{1}{2}$ 와 $\ln (x^{2})$ 을 묶습니다.

$\frac{\ln (x^{2})}{2} + 1$

단계 1.5.4.2

$2$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (x^{2})$ 을 전개합니다.

$\frac{2 \ln (x)}{2} + 1$

단계 1.5.4.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.5.4.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \ln (x)}{2} + 1$

단계 1.5.4.3.2

$\ln (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\ln (x) + 1$

단계 1.6

$x = - 1$ 일 때 도함수의 값을 계산합니다.

$\ln (- 1) + 1$

단계 1.7

음수에 대한 자연로그는 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

단계 2

직선의 기울기가 정의되지 않으므로 $x = - 1$ 에서 x축에 수직임을 의미합니다.

$x = - 1$

단계 3