미적분 예제

$f (x) = \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$ ; $(4, \frac{5}{2})$

단계 1

1차 도함수를 구하고 $x = 4$ , $y = \frac{5}{2}$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

합의 법칙에 의해 $\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

단계 1.2.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

단계 1.2.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

단계 1.2.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

단계 1.2.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

단계 1.2.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

단계 1.2.6.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

단계 1.2.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

단계 1.3.2

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 을 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

단계 1.3.3

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

단계 1.3.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

단계 1.3.3.3

$u$ 를 모두 $x^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

단계 1.3.4

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

단계 1.3.5

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

단계 1.3.5.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.5.2.1

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

단계 1.3.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

단계 1.3.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

단계 1.3.6

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

단계 1.3.7

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

단계 1.3.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

단계 1.3.9

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.3.9.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

단계 1.3.9.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

단계 1.3.10

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

단계 1.3.11

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

단계 1.3.12

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 와 $x^{- 1}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2}$

단계 1.3.13

지수를 더하여 $x^{- \frac{1}{2}}$ 에 $x^{- 1}$ 을 곱합니다.

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단계 1.3.13.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2}$

단계 1.3.13.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2}$

단계 1.3.13.3

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2}$

단계 1.3.13.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2}$

단계 1.3.13.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.3.13.5.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2}$

단계 1.3.13.5.2

$- 1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2}$

단계 1.3.13.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

단계 1.3.14

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{3}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

단계 1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

단계 1.4.2

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

단계 1.5

$x = 4$ 일 때 도함수의 값을 계산합니다.

$\frac{1}{2 {(4)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 1.6

간단히 합니다.

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단계 1.6.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.6.1.1

분모를 간단히 합니다.

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단계 1.6.1.1.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 1.6.1.1.2

${(2^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 1.6.1.1.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}} - \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 1.6.1.1.2.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.1.1.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}} - \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 1.6.1.1.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2 \cdot 2^{1}} - \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 1.6.1.1.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{2^{1 + 1}} - \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 1.6.1.1.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2^{2}} - \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 1.6.1.2

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 1.6.1.3

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.1.3.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 1.6.1.3.2

${(2^{2})}^{\frac{3}{2}}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.1.3.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}$

단계 1.6.1.3.2.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.1.3.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}$

단계 1.6.1.3.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{2 \cdot 2^{3}}$

단계 1.6.1.3.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{2^{1 + 3}}$

단계 1.6.1.3.4

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{2^{4}}$

단계 1.6.1.4

$2$ 를 $4$ 승 합니다.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{16}$

단계 1.6.2

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{4}$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{16}$

단계 1.6.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $16$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 1.6.3.1

$\frac{1}{4}$ 에 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{4 \cdot 4} - \frac{1}{16}$

단계 1.6.3.2

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{16} - \frac{1}{16}$

단계 1.6.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{4 - 1}{16}$

단계 1.6.5

$4$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{3}{16}$

단계 2

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

기울기 $\frac{3}{16}$ 과 주어진 점 $(4, \frac{5}{2})$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (\frac{5}{2}) = \frac{3}{16} \cdot (x - (4))$

단계 2.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y - \frac{5}{2} = \frac{3}{16} \cdot (x - 4)$

단계 2.3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.3.1

$\frac{3}{16} \cdot (x - 4)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

다시 씁니다.

$y - \frac{5}{2} = 0 + 0 + \frac{3}{16} \cdot (x - 4)$

단계 2.3.1.2

0을 더해 식을 간단히 합니다.

$y - \frac{5}{2} = \frac{3}{16} \cdot (x - 4)$

단계 2.3.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y - \frac{5}{2} = \frac{3}{16} x + \frac{3}{16} \cdot - 4$

단계 2.3.1.4

$\frac{3}{16}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$y - \frac{5}{2} = \frac{3 x}{16} + \frac{3}{16} \cdot - 4$

단계 2.3.1.5

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.5.1

$16$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y - \frac{5}{2} = \frac{3 x}{16} + \frac{3}{4 (4)} \cdot - 4$

단계 2.3.1.5.2

$- 4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y - \frac{5}{2} = \frac{3 x}{16} + \frac{3}{4 \cdot 4} \cdot (4 \cdot - 1)$

단계 2.3.1.5.3

공약수로 약분합니다.

$y - \frac{5}{2} = \frac{3 x}{16} + \frac{3}{4 \cdot 4} \cdot (4 \cdot - 1)$

단계 2.3.1.5.4

수식을 다시 씁니다.

$y - \frac{5}{2} = \frac{3 x}{16} + \frac{3}{4} \cdot - 1$

단계 2.3.1.6

$\frac{3}{4}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$y - \frac{5}{2} = \frac{3 x}{16} + \frac{3 \cdot - 1}{4}$

단계 2.3.1.7

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.7.1

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y - \frac{5}{2} = \frac{3 x}{16} + \frac{- 3}{4}$

단계 2.3.1.7.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y - \frac{5}{2} = \frac{3 x}{16} - \frac{3}{4}$

단계 2.3.2

$y$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

방정식의 양변에 $\frac{5}{2}$ 를 더합니다.

$y = \frac{3 x}{16} - \frac{3}{4} + \frac{5}{2}$

단계 2.3.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{5}{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{3 x}{16} - \frac{3}{4} + \frac{5}{2} \cdot \frac{2}{2}$

단계 2.3.2.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $4$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.3.1

$\frac{5}{2}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{3 x}{16} - \frac{3}{4} + \frac{5 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

단계 2.3.2.3.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y = \frac{3 x}{16} - \frac{3}{4} + \frac{5 \cdot 2}{4}$

단계 2.3.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{3 x}{16} + \frac{- 3 + 5 \cdot 2}{4}$

단계 2.3.2.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.5.1

$5$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y = \frac{3 x}{16} + \frac{- 3 + 10}{4}$

단계 2.3.2.5.2

$- 3$ 를 $10$ 에 더합니다.

$y = \frac{3 x}{16} + \frac{7}{4}$

단계 2.3.3

항을 다시 정렬합니다.

$y = \frac{3}{16} x + \frac{7}{4}$

단계 3