미적분 예제

$f (x) = - 3 \cos (x) - 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ at $x = \frac{π}{4}$

단계 1

$x = \frac{π}{4}$ 에 상당하는 $y$ 값을 구합니다.

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단계 1.1

$x$ 에 $\frac{π}{4}$ 를 대입합니다.

$y = - 3 \cos (\frac{π}{4}) - 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

단계 1.2

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 1.2.1

괄호를 제거합니다.

$y = - 3 \cos (\frac{π}{4}) - 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

단계 1.2.2

$- 3 \cos (\frac{π}{4}) - 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ 을 간단히 합니다.

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단계 1.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.2.2.1.1

$\cos (\frac{π}{4})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 입니다.

$y = - 3 \frac{\sqrt{2}}{2} - 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

단계 1.2.2.1.2

$- 3$ 와 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 을 묶습니다.

$y = \frac{- 3 \sqrt{2}}{2} - 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

단계 1.2.2.1.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

단계 1.2.2.2

항을 간단히 합니다.

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단계 1.2.2.2.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = - 2 + \frac{- 3 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π}{8}$

단계 1.2.2.2.2

$- 3 \sqrt{2}$ 를 $3 \sqrt{2}$ 에 더합니다.

$y = - 2 + \frac{0}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π}{8}$

단계 1.2.2.2.3

식을 간단히 합니다.

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단계 1.2.2.2.3.1

$0$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$y = - 2 + 0 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8}$

단계 1.2.2.2.3.2

$- 2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y = - 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8}$

단계 2

1차 도함수를 구하고 $x = \frac{π}{4}$ , $y = - 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8}$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $- 3 \cos (x) - 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2} π}{8}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2}}{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2} π}{8}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2}}{2}]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 \cos (x)$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 입니다.

$- 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2} π}{8}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2}}{2}]$

단계 2.2.2

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$- 3 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2} π}{8}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2}}{2}]$

단계 2.2.3

$- 1$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$3 \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2} π}{8}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2}}{2}]$

단계 2.3

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.1

$- 2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 2$ 입니다.

$3 \sin (x) + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2} π}{8}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2}}{2}]$

단계 2.3.2

$\frac{3 \sqrt{2} π}{8}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $\frac{3 \sqrt{2} π}{8}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{3 \sqrt{2} π}{8}$ 입니다.

$3 \sin (x) + 0 + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2}}{2}]$

단계 2.3.3

$\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ 입니다.

$3 \sin (x) + 0 + 0 + 0$

단계 2.4

항을 묶습니다.

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단계 2.4.1

$3 \sin (x)$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3 \sin (x) + 0 + 0$

단계 2.4.2

$3 \sin (x)$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3 \sin (x) + 0$

단계 2.4.3

$3 \sin (x)$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3 \sin (x)$

단계 2.5

$x = \frac{π}{4}$ 일 때 도함수의 값을 계산합니다.

$3 \sin (\frac{π}{4})$

단계 2.6

간단히 합니다.

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단계 2.6.1

$\sin (\frac{π}{4})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 입니다.

$3 \frac{\sqrt{2}}{2}$

단계 2.6.2

$3$ 와 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

단계 3

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.1

기울기 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ 과 주어진 점 $(\frac{π}{4}, - 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8})$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (- 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - (\frac{π}{4}))$

단계 3.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y + 2 - \frac{3 \sqrt{2} π}{8} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$

단계 3.3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.3.1

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$ 을 간단히 합니다.

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단계 3.3.1.1

다시 씁니다.

$y + 2 - \frac{3 \sqrt{2} π}{8} = 0 + 0 + \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$

단계 3.3.1.2

0을 더해 식을 간단히 합니다.

$y + 2 - \frac{3 \sqrt{2} π}{8} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$

단계 3.3.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y + 2 - \frac{3 \sqrt{2} π}{8} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} x + \frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{π}{4})$

단계 3.3.1.4

$\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$y + 2 - \frac{3 \sqrt{2} π}{8} = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{π}{4})$

단계 3.3.1.5

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{π}{4})$ 을 곱합니다.

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단계 3.3.1.5.1

$\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ 에 $\frac{π}{4}$ 을 곱합니다.

$y + 2 - \frac{3 \sqrt{2} π}{8} = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{3 \sqrt{2} π}{2 \cdot 4}$

단계 3.3.1.5.2

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$y + 2 - \frac{3 \sqrt{2} π}{8} = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{3 \sqrt{2} π}{8}$

단계 3.3.2

$y$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 3.3.2.1

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$y - \frac{3 \sqrt{2} π}{8} = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{3 \sqrt{2} π}{8} - 2$

단계 3.3.2.2

방정식의 양변에 $\frac{3 \sqrt{2} π}{8}$ 를 더합니다.

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{3 \sqrt{2} π}{8} - 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8}$

단계 3.3.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = - 2 + \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{- 3 \sqrt{2} π + 3 \sqrt{2} π}{8}$

단계 3.3.2.4

$- 3 \sqrt{2} π$ 를 $3 \sqrt{2} π$ 에 더합니다.

$y = - 2 + \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{0}{8}$

단계 3.3.2.5

$- 2 + \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{0}{8}$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 3.3.2.5.1

$0$ 을 $8$ 로 나눕니다.

$y = - 2 + \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + 0$

단계 3.3.2.5.2

$- 2 + \frac{3 \sqrt{2} x}{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y = - 2 + \frac{3 \sqrt{2} x}{2}$

단계 3.3.3

$y = m x + b$ 형태로 씁니다.

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단계 3.3.3.1

$- 2$ 와 $\frac{3 \sqrt{2} x}{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - 2$

단계 3.3.3.2

항을 다시 정렬합니다.

$y = \frac{3 \sqrt{2}}{2} x - 2$

단계 4