미적분 예제

$f (x) = (x^{2} + 7) (5 x + 4)$ ; $x = 2$

단계 1

$x = 2$ 에 상당하는 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$x$ 에 $2$ 를 대입합니다.

$y = ({(2)}^{2} + 7) (5 (2) + 4)$

단계 1.2

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

괄호를 제거합니다.

$y = (2^{2} + 7) (5 (2) + 4)$

단계 1.2.2

괄호를 제거합니다.

$y = ({(2)}^{2} + 7) (5 (2) + 4)$

단계 1.2.3

$({(2)}^{2} + 7) (5 (2) + 4)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = (4 + 7) (5 (2) + 4)$

단계 1.2.3.2

$4$ 를 $7$ 에 더합니다.

$y = 11 (5 (2) + 4)$

단계 1.2.3.3

$5$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y = 11 (10 + 4)$

단계 1.2.3.4

$10$ 를 $4$ 에 더합니다.

$y = 11 \cdot 14$

단계 1.2.3.5

$11$ 에 $14$ 을 곱합니다.

$y = 154$

단계 2

1차 도함수를 구하고 $x = 2$ , $y = 154$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$f (x) = x^{2} + 7$ , $g (x) = 5 x + 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [5 x + 4] + (5 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

단계 2.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

합의 법칙에 의해 $5 x + 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [4]$ 가 됩니다.

$(x^{2} + 7) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [4]) + (5 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

단계 2.2.2

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$(x^{2} + 7) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + (5 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

단계 2.2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x^{2} + 7) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]) + (5 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

단계 2.2.4

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(x^{2} + 7) (5 + \frac{d}{d x} [4]) + (5 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

단계 2.2.5

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$(x^{2} + 7) (5 + 0) + (5 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

단계 2.2.6

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.6.1

$5$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(x^{2} + 7) \cdot 5 + (5 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

단계 2.2.6.2

$x^{2} + 7$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$5 \cdot (x^{2} + 7) + (5 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

단계 2.2.7

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ 가 됩니다.

$5 (x^{2} + 7) + (5 x + 4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])$

단계 2.2.8

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (x^{2} + 7) + (5 x + 4) (2 x + \frac{d}{d x} [7])$

단계 2.2.9

$7$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $7$ 입니다.

$5 (x^{2} + 7) + (5 x + 4) (2 x + 0)$

단계 2.2.10

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.10.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$5 (x^{2} + 7) + (5 x + 4) (2 x)$

단계 2.2.10.2

$5 x + 4$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$5 (x^{2} + 7) + 2 \cdot (5 x + 4) x$

단계 2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$5 x^{2} + 5 \cdot 7 + 2 (5 x + 4) x$

단계 2.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$5 x^{2} + 5 \cdot 7 + (2 (5 x) + 2 \cdot 4) x$

단계 2.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$5 x^{2} + 5 \cdot 7 + 2 (5 x) x + 2 \cdot 4 x$

단계 2.3.4

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.4.1

$5$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$5 x^{2} + 35 + 2 (5 x) x + 2 \cdot 4 x$

단계 2.3.4.2

$5$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$5 x^{2} + 35 + 10 x \cdot x + 2 \cdot 4 x$

단계 2.3.4.3

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$5 x^{2} + 35 + 10 (x^{1} x) + 2 \cdot 4 x$

단계 2.3.4.4

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$5 x^{2} + 35 + 10 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot 4 x$

단계 2.3.4.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$5 x^{2} + 35 + 10 x^{1 + 1} + 2 \cdot 4 x$

단계 2.3.4.6

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$5 x^{2} + 35 + 10 x^{2} + 2 \cdot 4 x$

단계 2.3.4.7

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$5 x^{2} + 35 + 10 x^{2} + 8 x$

단계 2.3.4.8

$5 x^{2}$ 를 $10 x^{2}$ 에 더합니다.

$15 x^{2} + 35 + 8 x$

단계 2.3.5

항을 다시 정렬합니다.

$15 x^{2} + 8 x + 35$

단계 2.4

$x = 2$ 일 때 도함수의 값을 계산합니다.

$15 {(2)}^{2} + 8 (2) + 35$

단계 2.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$15 \cdot 4 + 8 (2) + 35$

단계 2.5.1.2

$15$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$60 + 8 (2) + 35$

단계 2.5.1.3

$8$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$60 + 16 + 35$

단계 2.5.2

숫자를 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.1

$60$ 를 $16$ 에 더합니다.

$76 + 35$

단계 2.5.2.2

$76$ 를 $35$ 에 더합니다.

$111$

단계 3

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

기울기 $111$ 과 주어진 점 $(2, 154)$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (154) = 111 \cdot (x - (2))$

단계 3.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y - 154 = 111 \cdot (x - 2)$

단계 3.3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$111 \cdot (x - 2)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1

다시 씁니다.

$y - 154 = 0 + 0 + 111 \cdot (x - 2)$

단계 3.3.1.2

0을 더해 식을 간단히 합니다.

$y - 154 = 111 \cdot (x - 2)$

단계 3.3.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y - 154 = 111 x + 111 \cdot - 2$

단계 3.3.1.4

$111$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$y - 154 = 111 x - 222$

단계 3.3.2

$y$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

방정식의 양변에 $154$ 를 더합니다.

$y = 111 x - 222 + 154$

단계 3.3.2.2

$- 222$ 를 $154$ 에 더합니다.

$y = 111 x - 68$

단계 4