미적분 예제

$y = x^{\sin (x)}$ , $(\frac{π}{2}, \frac{π}{2})$

단계 1

1차 도함수를 구하고 $x = \frac{π}{2}$ , $y = \frac{π}{2}$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

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단계 1.1

로그 성질을 사용하여 미분을 간단히 합니다.

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단계 1.1.1

$x^{\sin (x)}$ 을 $e^{\ln (x^{\sin (x)})}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\sin (x)})}]$

단계 1.1.2

$\sin (x)$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (x^{\sin (x)})$ 을 전개합니다.

$\frac{d}{d x} [e^{\sin (x) \ln (x)}]$

단계 1.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = \sin (x) \ln (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\sin (x) \ln (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$

단계 1.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u} \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$

단계 1.2.3

$u$ 를 모두 $\sin (x) \ln (x)$ 로 바꿉니다.

$e^{\sin (x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$

단계 1.3

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = \ln (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{\sin (x) \ln (x)} (\sin (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

단계 1.4

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$e^{\sin (x) \ln (x)} (\sin (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

단계 1.5

$\sin (x)$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$e^{\sin (x) \ln (x)} (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

단계 1.6

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$e^{\sin (x) \ln (x)} (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \cos (x))$

단계 1.7

간단히 합니다.

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단계 1.7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$e^{\sin (x) \ln (x)} \frac{\sin (x)}{x} + e^{\sin (x) \ln (x)} (\ln (x) \cos (x))$

단계 1.7.2

$e^{\sin (x) \ln (x)}$ 와 $\frac{\sin (x)}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{\sin (x) \ln (x)} \sin (x)}{x} + e^{\sin (x) \ln (x)} \ln (x) \cos (x)$

단계 1.7.3

항을 다시 정렬합니다.

$e^{\sin (x) \ln (x)} \cos (x) \ln (x) + \frac{e^{\sin (x) \ln (x)} \sin (x)}{x}$

단계 1.8

$x = \frac{π}{2}$ 일 때 도함수의 값을 계산합니다.

$e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

단계 1.9

간단히 합니다.

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단계 1.9.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.9.1.1

$\sin (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$e^{1 \ln (\frac{π}{2})} \cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

단계 1.9.1.2

$1$ 를 로그 안으로 옮겨 $1 \ln (\frac{π}{2})$ 을 간단히 합니다.

$e^{\ln ({(\frac{π}{2})}^{1})} \cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

단계 1.9.1.3

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

${(\frac{π}{2})}^{1} \cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

단계 1.9.1.4

간단히 합니다.

$\frac{π}{2} \cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

단계 1.9.1.5

$\cos (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{π}{2} \cdot 0 \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

단계 1.9.1.6

$\frac{π}{2}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

단계 1.9.1.7

$0$ 에 $\ln (\frac{π}{2})$ 을 곱합니다.

$0 + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

단계 1.9.1.8

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$0 + e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2}) \frac{2}{π}$

단계 1.9.1.9

$\sin (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$0 + e^{1 \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2}) \frac{2}{π}$

단계 1.9.1.10

$1$ 를 로그 안으로 옮겨 $1 \ln (\frac{π}{2})$ 을 간단히 합니다.

$0 + e^{\ln ({(\frac{π}{2})}^{1})} \sin (\frac{π}{2}) \frac{2}{π}$

단계 1.9.1.11

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$0 + {(\frac{π}{2})}^{1} \sin (\frac{π}{2}) \frac{2}{π}$

단계 1.9.1.12

간단히 합니다.

$0 + \frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2}) \frac{2}{π}$

단계 1.9.1.13

$\sin (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$0 + \frac{π}{2} \cdot 1 \frac{2}{π}$

단계 1.9.1.14

$\frac{π}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{π}$

단계 1.9.1.15

$π$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.9.1.15.1

공약수로 약분합니다.

$0 + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{π}$

단계 1.9.1.15.2

수식을 다시 씁니다.

$0 + \frac{1}{2} \cdot 2$

단계 1.9.1.16

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.9.1.16.1

공약수로 약분합니다.

$0 + \frac{1}{2} \cdot 2$

단계 1.9.1.16.2

수식을 다시 씁니다.

$0 + 1$

단계 1.9.2

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$1$

단계 2

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

기울기 $1$ 과 주어진 점 $(\frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (\frac{π}{2}) = 1 \cdot (x - (\frac{π}{2}))$

단계 2.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y - \frac{π}{2} = 1 \cdot (x - \frac{π}{2})$

단계 2.3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.3.1

$x - \frac{π}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y - \frac{π}{2} = x - \frac{π}{2}$

단계 2.3.2

$y$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 2.3.2.1

방정식의 양변에 $\frac{π}{2}$ 를 더합니다.

$y = x - \frac{π}{2} + \frac{π}{2}$

단계 2.3.2.2

$x - \frac{π}{2} + \frac{π}{2}$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 2.3.2.2.1

$- \frac{π}{2}$ 를 $\frac{π}{2}$ 에 더합니다.

$y = x + 0$

단계 2.3.2.2.2

$x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y = x$

단계 3