미적분 예제

$y = \frac{1}{2 x^{3}}$ , $(- 2, - \frac{1}{16})$

단계 1

1차 도함수를 구하고 $x = - 2$ , $y = - \frac{1}{16}$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

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단계 1.1

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{1}{2 x^{3}}$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ 입니다.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

단계 1.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 1.2.1

$\frac{1}{x^{3}}$ 을 ${(x^{3})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

단계 1.2.2

${(x^{3})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 1.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

단계 1.2.2.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

단계 1.3

$n = - 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} (- 3 x^{- 4})$

단계 1.4

분수를 통분합니다.

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단계 1.4.1

$- 3$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 3}{2} x^{- 4}$

단계 1.4.2

$\frac{- 3}{2}$ 와 $x^{- 4}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 3 x^{- 4}}{2}$

단계 1.4.3

식을 간단히 합니다.

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단계 1.4.3.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- 4}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{- 3}{2 x^{4}}$

단계 1.4.3.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{3}{2 x^{4}}$

단계 1.5

$x = - 2$ 일 때 도함수의 값을 계산합니다.

$- \frac{3}{2 {(- 2)}^{4}}$

단계 1.6

간단히 합니다.

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단계 1.6.1

$- 2$ 를 $4$ 승 합니다.

$- \frac{3}{2 \cdot 16}$

단계 1.6.2

$2$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$- \frac{3}{32}$

단계 2

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

기울기 $- \frac{3}{32}$ 과 주어진 점 $(- 2, - \frac{1}{16})$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (- \frac{1}{16}) = - \frac{3}{32} \cdot (x - (- 2))$

단계 2.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y + \frac{1}{16} = - \frac{3}{32} \cdot (x + 2)$

단계 2.3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.3.1

$- \frac{3}{32} \cdot (x + 2)$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1.1

다시 씁니다.

$y + \frac{1}{16} = 0 + 0 - \frac{3}{32} \cdot (x + 2)$

단계 2.3.1.2

항을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y + \frac{1}{16} = - \frac{3}{32} x - \frac{3}{32} \cdot 2$

단계 2.3.1.2.2

$x$ 와 $\frac{3}{32}$ 을 묶습니다.

$y + \frac{1}{16} = - \frac{x \cdot 3}{32} - \frac{3}{32} \cdot 2$

단계 2.3.1.2.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.3.1.2.3.1

$- \frac{3}{32}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$y + \frac{1}{16} = - \frac{x \cdot 3}{32} + \frac{- 3}{32} \cdot 2$

단계 2.3.1.2.3.2

$32$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y + \frac{1}{16} = - \frac{x \cdot 3}{32} + \frac{- 3}{2 (16)} \cdot 2$

단계 2.3.1.2.3.3

공약수로 약분합니다.

$y + \frac{1}{16} = - \frac{x \cdot 3}{32} + \frac{- 3}{2 \cdot 16} \cdot 2$

단계 2.3.1.2.3.4

수식을 다시 씁니다.

$y + \frac{1}{16} = - \frac{x \cdot 3}{32} + \frac{- 3}{16}$

단계 2.3.1.3

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1.3.1

$x$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$y + \frac{1}{16} = - \frac{3 \cdot x}{32} + \frac{- 3}{16}$

단계 2.3.1.3.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y + \frac{1}{16} = - \frac{3 x}{32} - \frac{3}{16}$

단계 2.3.2

$y$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 2.3.2.1

방정식의 양변에서 $\frac{1}{16}$ 를 뺍니다.

$y = - \frac{3 x}{32} - \frac{3}{16} - \frac{1}{16}$

단계 2.3.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{- 3 x}{32} + \frac{- 3 - 1}{16}$

단계 2.3.2.3

$- 3$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$y = \frac{- 3 x}{32} + \frac{- 4}{16}$

단계 2.3.2.4

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.3.2.4.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y = - \frac{3 x}{32} + \frac{- 4}{16}$

단계 2.3.2.4.2

$- 4$ 및 $16$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.3.2.4.2.1

$- 4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = - \frac{3 x}{32} + \frac{4 (- 1)}{16}$

단계 2.3.2.4.2.2

공약수로 약분합니다.

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단계 2.3.2.4.2.2.1

$16$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = - \frac{3 x}{32} + \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 4}$

단계 2.3.2.4.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$y = - \frac{3 x}{32} + \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 4}$

단계 2.3.2.4.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y = - \frac{3 x}{32} + \frac{- 1}{4}$

단계 2.3.2.4.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y = - \frac{3 x}{32} - \frac{1}{4}$

단계 2.3.3

$y = m x + b$ 형태로 씁니다.

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단계 2.3.3.1

항을 다시 정렬합니다.

$y = - (\frac{3}{32} x) - \frac{1}{4}$

단계 2.3.3.2

괄호를 제거합니다.

$y = - \frac{3}{32} x - \frac{1}{4}$

단계 3