미적분 예제

$g (x) = e^{x^{5} - 6 x}$ , $(- 1, e^{5})$

단계 1

1차 도함수를 구하고 $x = - 1$ , $y = e^{5}$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

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단계 1.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = x^{5} - 6 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{5} - 6 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{5} - 6 x]$

단계 1.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{5} - 6 x]$

단계 1.1.3

$u$ 를 모두 $x^{5} - 6 x$ 로 바꿉니다.

$e^{x^{5} - 6 x} \frac{d}{d x} [x^{5} - 6 x]$

단계 1.2

미분합니다.

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단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $x^{5} - 6 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ 가 됩니다.

$e^{x^{5} - 6 x} (\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

단계 1.2.2

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{x^{5} - 6 x} (5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

단계 1.2.3

$- 6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 6 x$ 의 미분은 $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$e^{x^{5} - 6 x} (5 x^{4} - 6 \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{x^{5} - 6 x} (5 x^{4} - 6 \cdot 1)$

단계 1.2.5

$- 6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{x^{5} - 6 x} (5 x^{4} - 6)$

단계 1.3

$x = - 1$ 일 때 도함수의 값을 계산합니다.

$e^{{(- 1)}^{5} - 6 \cdot - 1} (5 {(- 1)}^{4} - 6)$

단계 1.4

간단히 합니다.

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단계 1.4.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.4.1.1

$- 1$ 를 $5$ 승 합니다.

$e^{- 1 - 6 \cdot - 1} (5 {(- 1)}^{4} - 6)$

단계 1.4.1.2

$- 6$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e^{- 1 + 6} (5 {(- 1)}^{4} - 6)$

단계 1.4.2

$- 1$ 를 $6$ 에 더합니다.

$e^{5} (5 {(- 1)}^{4} - 6)$

단계 1.4.3

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.4.3.1

$- 1$ 를 $4$ 승 합니다.

$e^{5} (5 \cdot 1 - 6)$

단계 1.4.3.2

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{5} (5 - 6)$

단계 1.4.4

식을 간단히 합니다.

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단계 1.4.4.1

$5$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$e^{5} \cdot - 1$

단계 1.4.4.2

$e^{5}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$- 1 \cdot e^{5}$

단계 1.4.4.3

$- 1 e^{5}$ 을 $- e^{5}$ 로 바꿔 씁니다.

$- e^{5}$

단계 2

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

기울기 $- e^{5}$ 과 주어진 점 $(- 1, e^{5})$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (e^{5}) = - e^{5} \cdot (x - (- 1))$

단계 2.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y - e^{5} = - e^{5} \cdot (x + 1)$

단계 2.3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.3.1

$- e^{5} \cdot (x + 1)$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1.1

다시 씁니다.

$y - e^{5} = 0 + 0 - e^{5} \cdot (x + 1)$

단계 2.3.1.2

0을 더해 식을 간단히 합니다.

$y - e^{5} = - e^{5} \cdot (x + 1)$

단계 2.3.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y - e^{5} = - e^{5} x - e^{5} \cdot 1$

단계 2.3.1.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y - e^{5} = - e^{5} x - e^{5}$

단계 2.3.2

$y$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 2.3.2.1

방정식의 양변에 $e^{5}$ 를 더합니다.

$y = - e^{5} x - e^{5} + e^{5}$

단계 2.3.2.2

$- e^{5} x - e^{5} + e^{5}$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 2.3.2.2.1

$- e^{5}$ 를 $e^{5}$ 에 더합니다.

$y = - e^{5} x + 0$

단계 2.3.2.2.2

$- e^{5} x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y = - e^{5} x$

단계 3