미적분 예제

$y = e^{5 x}$ at $x = \frac{1}{5} \ln (3)$

단계 1

$x = \frac{1}{5} \cdot \ln (3)$ 에 상당하는 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$x$ 에 $\frac{1}{5} \cdot \ln (3)$ 를 대입합니다.

$y = e^{5 (\frac{1}{5} \cdot \ln (3))}$

단계 1.2

$e^{5 (\frac{1}{5} \cdot \ln (3))}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$\frac{1}{5}$ 를 로그 안으로 옮겨 $\frac{1}{5} \ln (3)$ 을 간단히 합니다.

$y = e^{5 \ln (3^{\frac{1}{5}})}$

단계 1.2.2

$5$ 를 로그 안으로 옮겨 $5 \ln (3^{\frac{1}{5}})$ 을 간단히 합니다.

$y = e^{\ln ({(3^{\frac{1}{5}})}^{5})}$

단계 1.2.3

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$y = {(3^{\frac{1}{5}})}^{5}$

단계 1.2.4

${(3^{\frac{1}{5}})}^{5}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y = 3^{\frac{1}{5} \cdot 5}$

단계 1.2.4.2

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.1

공약수로 약분합니다.

$y = 3^{\frac{1}{5} \cdot 5}$

단계 1.2.4.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y = 3^{1}$

단계 1.2.5

지수값을 계산합니다.

$y = 3$

단계 2

1차 도함수를 구하고 $x = \frac{1}{5} \ln (3)$ , $y = 3$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

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단계 2.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 5 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $5 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x]$

단계 2.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u} \frac{d}{d x} [5 x]$

단계 2.1.3

$u$ 를 모두 $5 x$ 로 바꿉니다.

$e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]$

단계 2.2

미분합니다.

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단계 2.2.1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{5 x} (5 \cdot 1)$

단계 2.2.3

식을 간단히 합니다.

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단계 2.2.3.1

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{5 x} \cdot 5$

단계 2.2.3.2

$e^{5 x}$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$5 e^{5 x}$

단계 2.3

$x = \frac{1}{5} \cdot \ln (3)$ 일 때 도함수의 값을 계산합니다.

$5 e^{5 (\frac{1}{5} \cdot \ln (3))}$

단계 2.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$\frac{1}{5}$ 를 로그 안으로 옮겨 $\frac{1}{5} \ln (3)$ 을 간단히 합니다.

$5 e^{5 \ln (3^{\frac{1}{5}})}$

단계 2.4.2

$5$ 를 로그 안으로 옮겨 $5 \ln (3^{\frac{1}{5}})$ 을 간단히 합니다.

$5 e^{\ln ({(3^{\frac{1}{5}})}^{5})}$

단계 2.4.3

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$5 {(3^{\frac{1}{5}})}^{5}$

단계 2.4.4

${(3^{\frac{1}{5}})}^{5}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.4.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$5 \cdot 3^{\frac{1}{5} \cdot 5}$

단계 2.4.4.2

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.4.2.1

공약수로 약분합니다.

$5 \cdot 3^{\frac{1}{5} \cdot 5}$

단계 2.4.4.2.2

수식을 다시 씁니다.

$5 \cdot 3^{1}$

단계 2.4.5

지수값을 계산합니다.

$5 \cdot 3$

단계 2.4.6

$5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$15$

단계 3

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.1

기울기 $15$ 과 주어진 점 $(\frac{1}{5} \cdot \ln (3), 3)$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (3) = 15 \cdot (x - (\frac{1}{5} \cdot \ln (3)))$

단계 3.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y - 3 = 15 \cdot (x - \ln (3^{\frac{1}{5}}))$

단계 3.3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$15 \cdot (x - \ln (3^{\frac{1}{5}}))$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1

다시 씁니다.

$y - 3 = 0 + 0 + 15 \cdot (x - \ln (3^{\frac{1}{5}}))$

단계 3.3.1.2

0을 더해 식을 간단히 합니다.

$y - 3 = 15 \cdot (x - \ln (3^{\frac{1}{5}}))$

단계 3.3.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y - 3 = 15 x + 15 (- \ln (3^{\frac{1}{5}}))$

단계 3.3.1.4

$15 (- \ln (3^{\frac{1}{5}}))$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.4.1

$- 1$ 에 $15$ 을 곱합니다.

$y - 3 = 15 x - 15 \ln (3^{\frac{1}{5}})$

단계 3.3.1.4.2

$15$ 를 로그 안으로 옮겨 $- 15 \ln (3^{\frac{1}{5}})$ 을 간단히 합니다.

$y - 3 = 15 x - \ln ({(3^{\frac{1}{5}})}^{15})$

단계 3.3.1.5

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.5.1

${(3^{\frac{1}{5}})}^{15}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.5.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y - 3 = 15 x - \ln (3^{\frac{1}{5} \cdot 15})$

단계 3.3.1.5.1.2

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.5.1.2.1

$15$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$y - 3 = 15 x - \ln (3^{\frac{1}{5} \cdot (5 (3))})$

단계 3.3.1.5.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$y - 3 = 15 x - \ln (3^{\frac{1}{5} \cdot (5 \cdot 3)})$

단계 3.3.1.5.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y - 3 = 15 x - \ln (3^{3})$

단계 3.3.1.5.2

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$y - 3 = 15 x - \ln (27)$

단계 3.3.2

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$y = 15 x - \ln (27) + 3$

단계 4