미적분 예제

$f (x) = - 3 \cos (x)$ at $x = \frac{3}{4} π$

단계 1

$x = \frac{3}{4} \cdot π$ 에 상당하는 $y$ 값을 구합니다.

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단계 1.1

$x$ 에 $\frac{3}{4} \cdot π$ 를 대입합니다.

$y = - 3 \cos (\frac{3}{4} \cdot π)$

단계 1.2

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 1.2.1

괄호를 제거합니다.

$y = - 3 \cos (\frac{3}{4} \cdot π)$

단계 1.2.2

$- 3 \cos (\frac{3}{4} \cdot π)$ 을 간단히 합니다.

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단계 1.2.2.1

$\frac{3}{4}$ 와 $π$ 을 묶습니다.

$y = - 3 \cos (\frac{3 π}{4})$

단계 1.2.2.2

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제2사분면에서 코사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$y = - 3 (- \cos (\frac{π}{4}))$

단계 1.2.2.3

$\cos (\frac{π}{4})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 입니다.

$y = - 3 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

단계 1.2.2.4

$- 3 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ 을 곱합니다.

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단계 1.2.2.4.1

$- 1$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$y = 3 \frac{\sqrt{2}}{2}$

단계 1.2.2.4.2

$3$ 와 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 을 묶습니다.

$y = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

단계 2

1차 도함수를 구하고 $x = \frac{3}{4} π$ , $y = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

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단계 2.1

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 \cos (x)$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 입니다.

$- 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 2.2

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$- 3 (- \sin (x))$

단계 2.3

$- 1$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$3 \sin (x)$

단계 2.4

$x = \frac{3}{4} \cdot π$ 일 때 도함수의 값을 계산합니다.

$3 \sin (\frac{3}{4} \cdot π)$

단계 2.5

간단히 합니다.

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단계 2.5.1

$\frac{3}{4}$ 와 $π$ 을 묶습니다.

$3 \sin (\frac{3 π}{4})$

단계 2.5.2

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다.

$3 \sin (\frac{π}{4})$

단계 2.5.3

$\sin (\frac{π}{4})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 입니다.

$3 \frac{\sqrt{2}}{2}$

단계 2.5.4

$3$ 와 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

단계 3

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.1

기울기 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ 과 주어진 점 $(\frac{3}{4} \cdot π, \frac{3 \sqrt{2}}{2})$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - (\frac{3}{4} \cdot π))$

단계 3.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y - \frac{3 \sqrt{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{3 π}{4})$

단계 3.3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.3.1

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{3 π}{4})$ 을 간단히 합니다.

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단계 3.3.1.1

다시 씁니다.

$y - \frac{3 \sqrt{2}}{2} = 0 + 0 + \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{3 π}{4})$

단계 3.3.1.2

0을 더해 식을 간단히 합니다.

$y - \frac{3 \sqrt{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{3 π}{4})$

단계 3.3.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y - \frac{3 \sqrt{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} x + \frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{3 π}{4})$

단계 3.3.1.4

$\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$y - \frac{3 \sqrt{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{3 π}{4})$

단계 3.3.1.5

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{3 π}{4})$ 을 곱합니다.

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단계 3.3.1.5.1

$\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ 에 $\frac{3 π}{4}$ 을 곱합니다.

$y - \frac{3 \sqrt{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{3 \sqrt{2} (3 π)}{2 \cdot 4}$

단계 3.3.1.5.2

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$y - \frac{3 \sqrt{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{9 \sqrt{2} π}{2 \cdot 4}$

단계 3.3.1.5.3

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$y - \frac{3 \sqrt{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{9 \sqrt{2} π}{8}$

단계 3.3.2

방정식의 양변에 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ 를 더합니다.

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{9 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

단계 3.3.3

$y = m x + b$ 형태로 씁니다.

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단계 3.3.3.1

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{9 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{4}{4}$

단계 3.3.3.2

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $8$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 3.3.3.2.1

$\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ 에 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{9 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2} \cdot 4}{2 \cdot 4}$

단계 3.3.3.2.2

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{9 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2} \cdot 4}{8}$

단계 3.3.3.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{- 9 \sqrt{2} π + 3 \sqrt{2} \cdot 4}{8}$

단계 3.3.3.4

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{- 9 \sqrt{2} π + 12 \sqrt{2}}{8}$

단계 3.3.3.5

$- 9 \sqrt{2} π$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{- (9 \sqrt{2} π) + 12 \sqrt{2}}{8}$

단계 3.3.3.6

$12 \sqrt{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{- (9 \sqrt{2} π) - (- 12 \sqrt{2})}{8}$

단계 3.3.3.7

$- (9 \sqrt{2} π) - (- 12 \sqrt{2})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{- (9 \sqrt{2} π - 12 \sqrt{2})}{8}$

단계 3.3.3.8

$- (9 \sqrt{2} π - 12 \sqrt{2})$ 을 $- 1 (9 \sqrt{2} π - 12 \sqrt{2})$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{- 1 (9 \sqrt{2} π - 12 \sqrt{2})}{8}$

단계 3.3.3.9

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{9 \sqrt{2} π - 12 \sqrt{2}}{8}$

단계 3.3.3.10

항을 다시 정렬합니다.

$y = \frac{3 \sqrt{2}}{2} x - \frac{9 \sqrt{2} π - 12 \sqrt{2}}{8}$

단계 4