미적분 예제

$16 x^{3} + y^{3} = 3$ , $(2, - 5)$

단계 1

1차 도함수를 구하고 $x = 2$ , $y = - 5$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (16 x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (3)$

단계 1.2

방정식의 좌변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $16 x^{3} + y^{3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

단계 1.2.2

$\frac{d}{d x} [16 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1

$16$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $16 x^{3}$ 의 미분은 $16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$16 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

단계 1.2.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

단계 1.2.2.3

$3$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$48 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

단계 1.2.3

$\frac{d}{d x} [y^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$48 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

단계 1.2.3.1.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$48 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

단계 1.2.3.1.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$48 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

단계 1.2.3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$48 x^{2} + 3 y^{2} y'$

단계 1.3

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$0$

단계 1.4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$48 x^{2} + 3 y^{2} y' = 0$

단계 1.5

$y'$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

방정식의 양변에서 $48 x^{2}$ 를 뺍니다.

$3 y^{2} y' = - 48 x^{2}$

단계 1.5.2

$3 y^{2} y' = - 48 x^{2}$ 의 각 항을 $3 y^{2}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.1

$3 y^{2} y' = - 48 x^{2}$ 의 각 항을 $3 y^{2}$ 로 나눕니다.

$\frac{3 y^{2} y'}{3 y^{2}} = \frac{- 48 x^{2}}{3 y^{2}}$

단계 1.5.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 y^{2} y'}{3 y^{2}} = \frac{- 48 x^{2}}{3 y^{2}}$

단계 1.5.2.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{- 48 x^{2}}{3 y^{2}}$

단계 1.5.2.2.2

$y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{- 48 x^{2}}{3 y^{2}}$

단계 1.5.2.2.2.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{- 48 x^{2}}{3 y^{2}}$

단계 1.5.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.3.1

$- 48$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.3.1.1

$- 48 x^{2}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{3 (- 16 x^{2})}{3 y^{2}}$

단계 1.5.2.3.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.3.1.2.1

$3 y^{2}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{3 (- 16 x^{2})}{3 (y^{2})}$

단계 1.5.2.3.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$y' = \frac{3 (- 16 x^{2})}{3 y^{2}}$

단계 1.5.2.3.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{- 16 x^{2}}{y^{2}}$

단계 1.5.2.3.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{16 x^{2}}{y^{2}}$

단계 1.6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{16 x^{2}}{y^{2}}$

단계 1.7

$y = - 5$ 와 $x = 2$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $2$ 을 대입합니다.

$- \frac{16 {(2)}^{2}}{y^{2}}$

단계 1.7.2

수식에서 변수 $y$ 에 $- 5$ 을 대입합니다.

$- \frac{16 {(2)}^{2}}{{(- 5)}^{2}}$

단계 1.7.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.3.1

$16$ 을 $2^{4}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{2^{4} \cdot 2^{2}}{{(- 5)}^{2}}$

단계 1.7.3.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{2^{4 + 2}}{{(- 5)}^{2}}$

단계 1.7.3.3

$4$ 를 $2$ 에 더합니다.

$- \frac{2^{6}}{{(- 5)}^{2}}$

단계 1.7.4

지수값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.4.1

$- 5$ 를 $2$ 승 합니다.

$- \frac{2^{6}}{25}$

단계 1.7.4.2

$2$ 를 $6$ 승 합니다.

$- \frac{64}{25}$

단계 2

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

기울기 $- \frac{64}{25}$ 과 주어진 점 $(2, - 5)$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (- 5) = - \frac{64}{25} \cdot (x - (2))$

단계 2.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y + 5 = - \frac{64}{25} \cdot (x - 2)$

단계 2.3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$- \frac{64}{25} \cdot (x - 2)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

다시 씁니다.

$y + 5 = 0 + 0 - \frac{64}{25} \cdot (x - 2)$

단계 2.3.1.2

0을 더해 식을 간단히 합니다.

$y + 5 = - \frac{64}{25} \cdot (x - 2)$

단계 2.3.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y + 5 = - \frac{64}{25} x - \frac{64}{25} \cdot - 2$

단계 2.3.1.4

$x$ 와 $\frac{64}{25}$ 을 묶습니다.

$y + 5 = - \frac{x \cdot 64}{25} - \frac{64}{25} \cdot - 2$

단계 2.3.1.5

$- \frac{64}{25} \cdot - 2$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.5.1

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y + 5 = - \frac{x \cdot 64}{25} + 2 (\frac{64}{25})$

단계 2.3.1.5.2

$2$ 와 $\frac{64}{25}$ 을 묶습니다.

$y + 5 = - \frac{x \cdot 64}{25} + \frac{2 \cdot 64}{25}$

단계 2.3.1.5.3

$2$ 에 $64$ 을 곱합니다.

$y + 5 = - \frac{x \cdot 64}{25} + \frac{128}{25}$

단계 2.3.1.6

$x$ 의 왼쪽으로 $64$ 이동하기

$y + 5 = - \frac{64 x}{25} + \frac{128}{25}$

단계 2.3.2

$y$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

방정식의 양변에서 $5$ 를 뺍니다.

$y = - \frac{64 x}{25} + \frac{128}{25} - 5$

단계 2.3.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 5$ 을 표현하기 위해 $\frac{25}{25}$ 을 곱합니다.

$y = - \frac{64 x}{25} + \frac{128}{25} - 5 \cdot \frac{25}{25}$

단계 2.3.2.3

$- 5$ 와 $\frac{25}{25}$ 을 묶습니다.

$y = - \frac{64 x}{25} + \frac{128}{25} + \frac{- 5 \cdot 25}{25}$

단계 2.3.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = - \frac{64 x}{25} + \frac{128 - 5 \cdot 25}{25}$

단계 2.3.2.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.5.1

$- 5$ 에 $25$ 을 곱합니다.

$y = - \frac{64 x}{25} + \frac{128 - 125}{25}$

단계 2.3.2.5.2

$128$ 에서 $125$ 을 뺍니다.

$y = - \frac{64 x}{25} + \frac{3}{25}$

단계 2.3.3

$y = m x + b$ 형태로 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

항을 다시 정렬합니다.

$y = - (\frac{64}{25} x) + \frac{3}{25}$

단계 2.3.3.2

괄호를 제거합니다.

$y = - \frac{64}{25} x + \frac{3}{25}$

단계 3