미적분 예제

$f (x) = - 4 x^{\frac{1}{2}} + x^{- 1} - 3$ at the point $(4, - \frac{43}{4})$

단계 1

1차 도함수를 구하고 $x = 4$ , $y = - \frac{43}{4}$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

합의 법칙에 의해 $- 4 x^{\frac{1}{2}} + x^{- 1} - 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 입니다.

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

단계 1.2.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

단계 1.2.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$- 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

단계 1.2.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$- 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

단계 1.2.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

단계 1.2.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

단계 1.2.6.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$- 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

단계 1.2.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- 4 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

단계 1.2.8

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$- 4 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

단계 1.2.9

$- 4$ 와 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 4 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

단계 1.2.10

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{- 4}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

단계 1.2.11

$- 4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

단계 1.2.12

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.12.1

$2 x^{\frac{1}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

단계 1.2.12.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

단계 1.2.12.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

단계 1.2.13

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

단계 1.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- 3]$

단계 1.3.2

$- 3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 3$ 입니다.

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - x^{- 2} + 0$

단계 1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{2}} + 0$

단계 1.4.2

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{2}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{2}}$

단계 1.4.3

항을 다시 정렬합니다.

$- \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.5

$x = 4$ 일 때 도함수의 값을 계산합니다.

$- \frac{1}{{(4)}^{2}} - \frac{2}{{(4)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.1.1

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$- \frac{1}{16} - \frac{2}{{(4)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.6.1.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.1.2.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{1}{16} - \frac{2}{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.6.1.2.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \frac{1}{16} - \frac{2}{2^{2 (\frac{1}{2})}}$

단계 1.6.1.2.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.1.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$- \frac{1}{16} - \frac{2}{2^{2 (\frac{1}{2})}}$

단계 1.6.1.2.3.2

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{16} - \frac{2}{2^{1}}$

단계 1.6.1.2.4

지수값을 계산합니다.

$- \frac{1}{16} - \frac{2}{2}$

단계 1.6.1.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.1.3.1

공약수로 약분합니다.

$- \frac{1}{16} - \frac{2}{2}$

단계 1.6.1.3.2

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{16} - 1 \cdot 1$

단계 1.6.1.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{16} - 1$

단계 1.6.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{16}{16}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{16} - 1 \cdot \frac{16}{16}$

단계 1.6.3

$- 1$ 와 $\frac{16}{16}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{16} + \frac{- 1 \cdot 16}{16}$

단계 1.6.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- 1 - 1 \cdot 16}{16}$

단계 1.6.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.5.1

$- 1$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$\frac{- 1 - 16}{16}$

단계 1.6.5.2

$- 1$ 에서 $16$ 을 뺍니다.

$\frac{- 17}{16}$

단계 1.6.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{17}{16}$

단계 2

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

기울기 $- \frac{17}{16}$ 과 주어진 점 $(4, - \frac{43}{4})$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (- \frac{43}{4}) = - \frac{17}{16} \cdot (x - (4))$

단계 2.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y + \frac{43}{4} = - \frac{17}{16} \cdot (x - 4)$

단계 2.3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$- \frac{17}{16} \cdot (x - 4)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

다시 씁니다.

$y + \frac{43}{4} = 0 + 0 - \frac{17}{16} \cdot (x - 4)$

단계 2.3.1.2

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y + \frac{43}{4} = - \frac{17}{16} x - \frac{17}{16} \cdot - 4$

단계 2.3.1.2.2

$x$ 와 $\frac{17}{16}$ 을 묶습니다.

$y + \frac{43}{4} = - \frac{x \cdot 17}{16} - \frac{17}{16} \cdot - 4$

단계 2.3.1.2.3

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.2.3.1

$- \frac{17}{16}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$y + \frac{43}{4} = - \frac{x \cdot 17}{16} + \frac{- 17}{16} \cdot - 4$

단계 2.3.1.2.3.2

$16$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y + \frac{43}{4} = - \frac{x \cdot 17}{16} + \frac{- 17}{4 (4)} \cdot - 4$

단계 2.3.1.2.3.3

$- 4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y + \frac{43}{4} = - \frac{x \cdot 17}{16} + \frac{- 17}{4 \cdot 4} \cdot (4 \cdot - 1)$

단계 2.3.1.2.3.4

공약수로 약분합니다.

$y + \frac{43}{4} = - \frac{x \cdot 17}{16} + \frac{- 17}{4 \cdot 4} \cdot (4 \cdot - 1)$

단계 2.3.1.2.3.5

수식을 다시 씁니다.

$y + \frac{43}{4} = - \frac{x \cdot 17}{16} + \frac{- 17}{4} \cdot - 1$

단계 2.3.1.2.4

$\frac{- 17}{4}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$y + \frac{43}{4} = - \frac{x \cdot 17}{16} + \frac{- 17 \cdot - 1}{4}$

단계 2.3.1.2.5

$- 17$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y + \frac{43}{4} = - \frac{x \cdot 17}{16} + \frac{17}{4}$

단계 2.3.1.3

$x$ 의 왼쪽으로 $17$ 이동하기

$y + \frac{43}{4} = - \frac{17 x}{16} + \frac{17}{4}$

단계 2.3.2

$y$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

방정식의 양변에서 $\frac{43}{4}$ 를 뺍니다.

$y = - \frac{17 x}{16} + \frac{17}{4} - \frac{43}{4}$

단계 2.3.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{- 17 x}{16} + \frac{17 - 43}{4}$

단계 2.3.2.3

$17$ 에서 $43$ 을 뺍니다.

$y = \frac{- 17 x}{16} + \frac{- 26}{4}$

단계 2.3.2.4

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.4.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y = - \frac{17 x}{16} + \frac{- 26}{4}$

단계 2.3.2.4.2

$- 26$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.4.2.1

$- 26$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = - \frac{17 x}{16} + \frac{2 (- 13)}{4}$

단계 2.3.2.4.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.4.2.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = - \frac{17 x}{16} + \frac{2 \cdot - 13}{2 \cdot 2}$

단계 2.3.2.4.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$y = - \frac{17 x}{16} + \frac{2 \cdot - 13}{2 \cdot 2}$

단계 2.3.2.4.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y = - \frac{17 x}{16} + \frac{- 13}{2}$

단계 2.3.2.4.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y = - \frac{17 x}{16} - \frac{13}{2}$

단계 2.3.3

$y = m x + b$ 형태로 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

항을 다시 정렬합니다.

$y = - (\frac{17}{16} x) - \frac{13}{2}$

단계 2.3.3.2

괄호를 제거합니다.

$y = - \frac{17}{16} x - \frac{13}{2}$

단계 3