미적분 예제

$y = x e^{- x^{2}}$ , $(0, 0)$

단계 1

1차 도함수를 구하고 $x = 0$ , $y = 0$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

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단계 1.1

$f (x) = x$ , $g (x) = e^{- x^{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}] + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- x^{2}$ 로 바꿉니다.

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.2.3

$u$ 를 모두 $- x^{2}$ 로 바꿉니다.

$x (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.3

미분합니다.

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단계 1.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$x (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.3.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.4

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$x^{1} x (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.5

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$x^{1} x^{1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.6

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$x^{1 + 1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.7

식을 간단히 합니다.

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단계 1.7.1

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.7.2

$e^{- x^{2}}$ 의 왼쪽으로 $- 2$ 이동하기

$x^{2} (- 2 \cdot e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \cdot 1$

단계 1.9

$e^{- x^{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}}$

단계 1.10

간단히 합니다.

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단계 1.10.1

항을 다시 정렬합니다.

$- 2 e^{- x^{2}} x^{2} + e^{- x^{2}}$

단계 1.10.2

$- 2 e^{- x^{2}} x^{2} + e^{- x^{2}}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- 2 x^{2} e^{- x^{2}} + e^{- x^{2}}$

단계 1.11

$x = 0$ 일 때 도함수의 값을 계산합니다.

$- 2 {(0)}^{2} e^{- {(0)}^{2}} + e^{- {(0)}^{2}}$

단계 1.12

간단히 합니다.

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단계 1.12.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.12.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$- 2 \cdot 0 e^{- {(0)}^{2}} + e^{- {(0)}^{2}}$

단계 1.12.1.2

$- 2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 e^{- {(0)}^{2}} + e^{- {(0)}^{2}}$

단계 1.12.1.3

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$0 e^{- 0} + e^{- {(0)}^{2}}$

단계 1.12.1.4

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 e^{0} + e^{- {(0)}^{2}}$

단계 1.12.1.5

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$0 \cdot 1 + e^{- {(0)}^{2}}$

단계 1.12.1.6

$0$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 + e^{- {(0)}^{2}}$

단계 1.12.1.7

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$0 + e^{- 0}$

단계 1.12.1.8

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 + e^{0}$

단계 1.12.1.9

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$0 + 1$

단계 1.12.2

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$1$

단계 2

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

기울기 $1$ 과 주어진 점 $(0, 0)$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (0) = 1 \cdot (x - (0))$

단계 2.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y + 0 = 1 \cdot (x + 0)$

단계 2.3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.3.1

$y$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y = 1 \cdot (x + 0)$

단계 2.3.2

$1 \cdot (x + 0)$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.3.2.1

$x + 0$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = x + 0$

단계 2.3.2.2

$x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y = x$

단계 3