미적분 예제

$y = x^{3} e^{- x}$ , $(1, \frac{1}{e})$

단계 1

1차 도함수를 구하고 $x = 1$ , $y = \frac{1}{e}$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

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단계 1.1

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = e^{- x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{3} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 1.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- x$ 로 바꿉니다.

$x^{3} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 1.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{3} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 1.2.3

$u$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$x^{3} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 1.3

미분합니다.

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단계 1.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$x^{3} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{3} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 1.3.3

식을 간단히 합니다.

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단계 1.3.3.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{3} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 1.3.3.2

$e^{- x}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$x^{3} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 1.3.3.3

$- 1 e^{- x}$ 을 $- e^{- x}$ 로 바꿔 씁니다.

$x^{3} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 1.3.4

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{3} (- e^{- x}) + e^{- x} (3 x^{2})$

단계 1.4

간단히 합니다.

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단계 1.4.1

항을 다시 정렬합니다.

$- e^{- x} x^{3} + 3 e^{- x} x^{2}$

단계 1.4.2

$- e^{- x} x^{3} + 3 e^{- x} x^{2}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- x^{3} e^{- x} + 3 x^{2} e^{- x}$

단계 1.5

$x = 1$ 일 때 도함수의 값을 계산합니다.

$- {(1)}^{3} e^{- (1)} + 3 {(1)}^{2} e^{- (1)}$

단계 1.6

간단히 합니다.

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단계 1.6.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.6.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$- 1 \cdot 1 e^{- (1)} + 3 {(1)}^{2} e^{- (1)}$

단계 1.6.1.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 1 e^{- (1)} + 3 {(1)}^{2} e^{- (1)}$

단계 1.6.1.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 1 e^{- 1} + 3 {(1)}^{2} e^{- (1)}$

단계 1.6.1.4

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- 1 \frac{1}{e} + 3 {(1)}^{2} e^{- (1)}$

단계 1.6.1.5

$- 1 \frac{1}{e}$ 을 $- \frac{1}{e}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{1}{e} + 3 {(1)}^{2} e^{- (1)}$

단계 1.6.1.6

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$- \frac{1}{e} + 3 \cdot 1 e^{- (1)}$

단계 1.6.1.7

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{e} + 3 e^{- (1)}$

단계 1.6.1.8

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{e} + 3 e^{- 1}$

단계 1.6.1.9

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{e} + 3 \frac{1}{e}$

단계 1.6.1.10

$3$ 와 $\frac{1}{e}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{e} + \frac{3}{e}$

단계 1.6.2

분수를 통분합니다.

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단계 1.6.2.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- 1 + 3}{e}$

단계 1.6.2.2

$- 1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\frac{2}{e}$

단계 2

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

기울기 $\frac{2}{e}$ 과 주어진 점 $(1, \frac{1}{e})$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (\frac{1}{e}) = \frac{2}{e} \cdot (x - (1))$

단계 2.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y - \frac{1}{e} = \frac{2}{e} \cdot (x - 1)$

단계 2.3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.3.1

변수를 포함한 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

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단계 2.3.1.1

방정식의 양변에서 $\frac{2}{e} \cdot (x - 1)$ 를 뺍니다.

$y - \frac{1}{e} - \frac{2}{e} \cdot (x - 1) = 0$

단계 2.3.1.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y - \frac{1}{e} - \frac{2}{e} x - \frac{2}{e} \cdot - 1 = 0$

단계 2.3.1.2.2

$x$ 와 $\frac{2}{e}$ 을 묶습니다.

$y - \frac{1}{e} - \frac{x \cdot 2}{e} - \frac{2}{e} \cdot - 1 = 0$

단계 2.3.1.2.3

$- \frac{2}{e} \cdot - 1$ 을 곱합니다.

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단계 2.3.1.2.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y - \frac{1}{e} - \frac{x \cdot 2}{e} + 1 \frac{2}{e} = 0$

단계 2.3.1.2.3.2

$\frac{2}{e}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y - \frac{1}{e} - \frac{x \cdot 2}{e} + \frac{2}{e} = 0$

단계 2.3.1.2.4

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$y - \frac{1}{e} - \frac{2 x}{e} + \frac{2}{e} = 0$

단계 2.3.1.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y + \frac{- 1 - 2 x + 2}{e} = 0$

단계 2.3.1.4

$- 1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$y + \frac{- 2 x + 1}{e} = 0$

단계 2.3.1.5

공통 분모를 가지는 분수로 $y$ 을 표현하기 위해 $\frac{e}{e}$ 을 곱합니다.

$\frac{y e}{e} + \frac{- 2 x + 1}{e} = 0$

단계 2.3.1.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{y e - 2 x + 1}{e} = 0$

단계 2.3.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$y e - 2 x + 1 = 0$

단계 2.3.3

$y$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.3.3.1

$y$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 2.3.3.1.1

방정식의 양변에 $2 x$ 를 더합니다.

$y e + 1 = 2 x$

단계 2.3.3.1.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$y e = 2 x - 1$

단계 2.3.3.2

$y e = 2 x - 1$ 의 각 항을 $e$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 2.3.3.2.1

$y e = 2 x - 1$ 의 각 항을 $e$ 로 나눕니다.

$\frac{y e}{e} = \frac{2 x}{e} + \frac{- 1}{e}$

단계 2.3.3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 2.3.3.2.2.1

$e$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.3.3.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y e}{e} = \frac{2 x}{e} + \frac{- 1}{e}$

단계 2.3.3.2.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{2 x}{e} + \frac{- 1}{e}$

단계 2.3.3.2.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 2.3.3.2.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y = \frac{2 x}{e} - \frac{1}{e}$

단계 2.3.4

항을 다시 정렬합니다.

$y = \frac{2}{e} x - \frac{1}{e}$

단계 3