미적분 예제

$f (x) = {({(x - 2)}^{2} - x)}^{2}$ at $x = 3$

단계 1

$x = 3$ 에 상당하는 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$x$ 에 $3$ 를 대입합니다.

$y = {({((3) - 2)}^{2} - (3))}^{2}$

단계 1.2

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

괄호를 제거합니다.

$y = {({(3 - 2)}^{2} - (3))}^{2}$

단계 1.2.2

괄호를 제거합니다.

$y = {({((3) - 2)}^{2} - (3))}^{2}$

단계 1.2.3

${({((3) - 2)}^{2} - (3))}^{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1.1

$3$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$y = {(1^{2} - (3))}^{2}$

단계 1.2.3.1.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$y = {(1 - (3))}^{2}$

단계 1.2.3.1.3

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$y = {(1 - 3)}^{2}$

단계 1.2.3.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$y = {(- 2)}^{2}$

단계 1.2.3.2.2

$- 2$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = 4$

단계 2

1차 도함수를 구하고 $x = 3$ , $y = 4$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = {(x - 2)}^{2} - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 ${(x - 2)}^{2} - x$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2} - x]$

단계 2.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2} - x]$

단계 2.1.3

$u_{1}$ 를 모두 ${(x - 2)}^{2} - x$ 로 바꿉니다.

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2} - x]$

단계 2.2

합의 법칙에 의해 ${(x - 2)}^{2} - x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ 가 됩니다.

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) (\frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

단계 2.3

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = x - 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $x - 2$ 로 바꿉니다.

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [x - 2] + \frac{d}{d x} [- x])$

단계 2.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [x - 2] + \frac{d}{d x} [- x])$

단계 2.3.3

$u_{2}$ 를 모두 $x - 2$ 로 바꿉니다.

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) (2 (x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2] + \frac{d}{d x} [- x])$

단계 2.4

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

합의 법칙에 의해 $x - 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 가 됩니다.

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) (2 (x - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + \frac{d}{d x} [- x])$

단계 2.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) (2 (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + \frac{d}{d x} [- x])$

단계 2.4.3

$- 2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 2$ 입니다.

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) (2 (x - 2) (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x])$

단계 2.4.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) (2 (x - 2) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x])$

단계 2.4.4.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) (2 (x - 2) + \frac{d}{d x} [- x])$

단계 2.4.5

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) (2 (x - 2) - \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.4.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) (2 (x - 2) - 1 \cdot 1)$

단계 2.4.7

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) (2 (x - 2) - 1)$

단계 2.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(2 {(x - 2)}^{2} + 2 (- x)) (2 (x - 2) - 1)$

단계 2.5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$(2 {(x - 2)}^{2} + 2 (- x)) (2 x + 2 \cdot - 2 - 1)$

단계 2.5.3

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.3.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$(2 {(x - 2)}^{2} - 2 x) (2 x + 2 \cdot - 2 - 1)$

단계 2.5.3.2

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$(2 {(x - 2)}^{2} - 2 x) (2 x - 4 - 1)$

단계 2.5.3.3

$- 4$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$(2 {(x - 2)}^{2} - 2 x) (2 x - 5)$

단계 2.5.4

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.4.1

${(x - 2)}^{2}$ 을 $(x - 2) (x - 2)$ 로 바꿔 씁니다.

$(2 ((x - 2) (x - 2)) - 2 x) (2 x - 5)$

단계 2.5.4.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(x - 2) (x - 2)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.4.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(2 (x (x - 2) - 2 (x - 2)) - 2 x) (2 x - 5)$

단계 2.5.4.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$(2 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) - 2 x) (2 x - 5)$

단계 2.5.4.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$(2 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) - 2 x) (2 x - 5)$

단계 2.5.4.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.4.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.4.3.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$(2 (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) - 2 x) (2 x - 5)$

단계 2.5.4.3.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $- 2$ 이동하기

$(2 (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) - 2 x) (2 x - 5)$

단계 2.5.4.3.1.3

$- 2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$(2 (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) - 2 x) (2 x - 5)$

단계 2.5.4.3.2

$- 2 x$ 에서 $2 x$ 을 뺍니다.

$(2 (x^{2} - 4 x + 4) - 2 x) (2 x - 5)$

단계 2.5.4.4

분배 법칙을 적용합니다.

$(2 x^{2} + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 4 - 2 x) (2 x - 5)$

단계 2.5.4.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.4.5.1

$- 4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$(2 x^{2} - 8 x + 2 \cdot 4 - 2 x) (2 x - 5)$

단계 2.5.4.5.2

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$(2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 x) (2 x - 5)$

단계 2.5.5

$- 8 x$ 에서 $2 x$ 을 뺍니다.

$(2 x^{2} - 10 x + 8) (2 x - 5)$

단계 2.5.6

첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 $(2 x^{2} - 10 x + 8) (2 x - 5)$ 를 전개합니다.

$2 x^{2} (2 x) + 2 x^{2} \cdot - 5 - 10 x (2 x) - 10 x \cdot - 5 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

단계 2.5.7

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.7.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$2 \cdot 2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot - 5 - 10 x (2 x) - 10 x \cdot - 5 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

단계 2.5.7.2

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.7.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$2 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 5 - 10 x (2 x) - 10 x \cdot - 5 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

단계 2.5.7.2.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.7.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 5 - 10 x (2 x) - 10 x \cdot - 5 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

단계 2.5.7.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 \cdot 2 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \cdot - 5 - 10 x (2 x) - 10 x \cdot - 5 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

단계 2.5.7.2.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$2 \cdot 2 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 5 - 10 x (2 x) - 10 x \cdot - 5 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

단계 2.5.7.3

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 5 - 10 x (2 x) - 10 x \cdot - 5 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

단계 2.5.7.4

$- 5$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 x^{3} - 10 x^{2} - 10 x (2 x) - 10 x \cdot - 5 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

단계 2.5.7.5

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$4 x^{3} - 10 x^{2} - 10 \cdot 2 x \cdot x - 10 x \cdot - 5 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

단계 2.5.7.6

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.7.6.1

$x$ 를 옮깁니다.

$4 x^{3} - 10 x^{2} - 10 \cdot 2 (x \cdot x) - 10 x \cdot - 5 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

단계 2.5.7.6.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$4 x^{3} - 10 x^{2} - 10 \cdot 2 x^{2} - 10 x \cdot - 5 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

단계 2.5.7.7

$- 10$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 x^{3} - 10 x^{2} - 20 x^{2} - 10 x \cdot - 5 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

단계 2.5.7.8

$- 5$ 에 $- 10$ 을 곱합니다.

$4 x^{3} - 10 x^{2} - 20 x^{2} + 50 x + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

단계 2.5.7.9

$2$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$4 x^{3} - 10 x^{2} - 20 x^{2} + 50 x + 16 x + 8 \cdot - 5$

단계 2.5.7.10

$8$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$4 x^{3} - 10 x^{2} - 20 x^{2} + 50 x + 16 x - 40$

단계 2.5.8

$- 10 x^{2}$ 에서 $20 x^{2}$ 을 뺍니다.

$4 x^{3} - 30 x^{2} + 50 x + 16 x - 40$

단계 2.5.9

$50 x$ 를 $16 x$ 에 더합니다.

$4 x^{3} - 30 x^{2} + 66 x - 40$

단계 2.6

$x = 3$ 일 때 도함수의 값을 계산합니다.

$4 {(3)}^{3} - 30 {(3)}^{2} + 66 (3) - 40$

단계 2.7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.1.1

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$4 \cdot 27 - 30 {(3)}^{2} + 66 (3) - 40$

단계 2.7.1.2

$4$ 에 $27$ 을 곱합니다.

$108 - 30 {(3)}^{2} + 66 (3) - 40$

단계 2.7.1.3

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$108 - 30 \cdot 9 + 66 (3) - 40$

단계 2.7.1.4

$- 30$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$108 - 270 + 66 (3) - 40$

단계 2.7.1.5

$66$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$108 - 270 + 198 - 40$

단계 2.7.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.2.1

$108$ 에서 $270$ 을 뺍니다.

$- 162 + 198 - 40$

단계 2.7.2.2

$- 162$ 를 $198$ 에 더합니다.

$36 - 40$

단계 2.7.2.3

$36$ 에서 $40$ 을 뺍니다.

$- 4$

단계 3

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

기울기 $- 4$ 과 주어진 점 $(3, 4)$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (4) = - 4 \cdot (x - (3))$

단계 3.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y - 4 = - 4 \cdot (x - 3)$

단계 3.3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$- 4 \cdot (x - 3)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1

다시 씁니다.

$y - 4 = 0 + 0 - 4 \cdot (x - 3)$

단계 3.3.1.2

0을 더해 식을 간단히 합니다.

$y - 4 = - 4 \cdot (x - 3)$

단계 3.3.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y - 4 = - 4 x - 4 \cdot - 3$

단계 3.3.1.4

$- 4$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$y - 4 = - 4 x + 12$

단계 3.3.2

$y$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$y = - 4 x + 12 + 4$

단계 3.3.2.2

$12$ 를 $4$ 에 더합니다.

$y = - 4 x + 16$

단계 4