미적분 예제

$y = \frac{1 + \sin (x)}{\cos (x)}$ , $(π, - 1)$

단계 1

1차 도함수를 구하고 $x = π$ , $y = - 1$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$f (x) = 1 + \sin (x)$ , $g (x) = \cos (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\cos (x) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)] - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

단계 1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $1 + \sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{\cos (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

단계 1.2.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{\cos (x) (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

단계 1.2.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 에 더합니다.

$\frac{\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

단계 1.3

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$\frac{\cos (x) \cos (x) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

단계 1.4

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\cos^{1} (x) \cos (x) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

단계 1.5

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

단계 1.6

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 1} - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

단계 1.7

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\cos^{2} (x) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

단계 1.8

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$\frac{\cos^{2} (x) - (1 + \sin (x)) (- \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

단계 1.9

곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.9.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 (1 + \sin (x)) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

단계 1.9.2

$1 + \sin (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\cos^{2} (x) + (1 + \sin (x)) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

단계 1.10

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.10.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 \sin (x) + \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

단계 1.10.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.10.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.10.2.1.1

$\sin (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) + \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

단계 1.10.2.1.2

$\sin (x) \sin (x)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.10.2.1.2.1

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

단계 1.10.2.1.2.2

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos^{2} (x)}$

단계 1.10.2.1.2.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos^{2} (x)}$

단계 1.10.2.1.2.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

단계 1.10.2.2

$\sin^{2} (x)$ 를 옮깁니다.

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) + \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

단계 1.10.2.3

항을 다시 배열합니다.

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

단계 1.10.2.4

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\frac{1 + \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

단계 1.11

$x = π$ 일 때 도함수의 값을 계산합니다.

$\frac{1 + \sin (π)}{\cos^{2} (π)}$

단계 1.12

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.12.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.12.1.1

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다.

$\frac{1 + \sin (0)}{\cos^{2} (π)}$

단계 1.12.1.2

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{1 + 0}{\cos^{2} (π)}$

단계 1.12.1.3

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{\cos^{2} (π)}$

단계 1.12.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.12.2.1

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제2사분면에서 코사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$\frac{1}{{(- \cos (0))}^{2}}$

단계 1.12.2.2

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$\frac{1}{{(- 1 \cdot 1)}^{2}}$

단계 1.12.2.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

단계 1.12.2.4

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{1}{1}$

단계 1.12.3

$1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.12.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{1}$

단계 1.12.3.2

수식을 다시 씁니다.

$1$

단계 2

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

기울기 $1$ 과 주어진 점 $(π, - 1)$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (- 1) = 1 \cdot (x - (π))$

단계 2.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y + 1 = 1 \cdot (x - π)$

단계 2.3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$x - π$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y + 1 = x - π$

단계 2.3.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$y = x - π - 1$

단계 3