미적분 예제

$\sqrt{x} + \sqrt{y} = 5$ , $(4, 9)$

단계 1

1차 도함수를 구하고 $x = 4$ , $y = 9$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

유리 지수를 사용하여 좌변을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$x^{\frac{1}{2}} + \sqrt{y} = 5$

단계 1.1.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{y}$ 을(를) $y^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} = 5$

단계 1.2

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (5)$

단계 1.3

방정식의 좌변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

합의 법칙에 의해 $x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

단계 1.3.2

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.1

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

단계 1.3.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

단계 1.3.2.3

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

단계 1.3.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

단계 1.3.2.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.5.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

단계 1.3.2.5.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

단계 1.3.2.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

단계 1.3.3

$\frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.1

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y]$

단계 1.3.3.1.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

단계 1.3.3.1.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

단계 1.3.3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} y'$

단계 1.3.3.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} y'$

단계 1.3.3.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} y'$

단계 1.3.3.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} y'$

단계 1.3.3.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} y'$

단계 1.3.3.6.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} y'$

단계 1.3.3.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} y'$

단계 1.3.3.8

$\frac{1}{2}$ 와 $y^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} y'$

단계 1.3.3.9

$\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 와 $y'$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{y^{- \frac{1}{2}} y'}{2}$

단계 1.3.3.10

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $y^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.3.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.3.4.2

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.4

$5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $5$ 입니다.

$0$

단계 1.5

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} = 0$

단계 1.6

$y'$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.1

방정식의 양변에서 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 를 뺍니다.

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.6.2

양변에 $2 y^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}}) = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

단계 1.6.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.3.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.3.1.1

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.3.1.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

단계 1.6.3.1.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.3.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

단계 1.6.3.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

단계 1.6.3.1.1.3

$y^{\frac{1}{2}}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.3.1.1.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

단계 1.6.3.1.1.3.2

수식을 다시 씁니다.

$y' = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

단계 1.6.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.3.2.1

$- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.3.2.1.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.3.2.1.1.1

$- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$y' = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

단계 1.6.3.2.1.1.2

$2 x^{\frac{1}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{- 1}{2 (x^{\frac{1}{2}})} (2 y^{\frac{1}{2}})$

단계 1.6.3.2.1.1.3

$2 y^{\frac{1}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{- 1}{2 (x^{\frac{1}{2}})} (2 (y^{\frac{1}{2}}))$

단계 1.6.3.2.1.1.4

공약수로 약분합니다.

$y' = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

단계 1.6.3.2.1.1.5

수식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

단계 1.6.3.2.1.2

$\frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 와 $y^{\frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$y' = \frac{- y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.6.3.2.1.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.7

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.8

$y = 9$ 와 $x = 4$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.8.1

수식에서 변수 $x$ 에 $4$ 을 대입합니다.

$- \frac{y^{\frac{1}{2}}}{{(4)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.8.2

수식에서 변수 $y$ 에 $9$ 을 대입합니다.

$- \frac{{(9)}^{\frac{1}{2}}}{{(4)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.8.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.8.3.1

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{{(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.8.3.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \frac{3^{2 (\frac{1}{2})}}{4^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.8.3.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.8.3.3.1

공약수로 약분합니다.

$- \frac{3^{2 (\frac{1}{2})}}{4^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.8.3.3.2

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{3^{1}}{4^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.8.3.4

지수값을 계산합니다.

$- \frac{3}{4^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.8.4

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.8.4.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{3}{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.8.4.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \frac{3}{2^{2 (\frac{1}{2})}}$

단계 1.8.4.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.8.4.3.1

공약수로 약분합니다.

$- \frac{3}{2^{2 (\frac{1}{2})}}$

단계 1.8.4.3.2

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{3}{2^{1}}$

단계 1.8.4.4

지수값을 계산합니다.

$- \frac{3}{2}$

단계 2

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

기울기 $- \frac{3}{2}$ 과 주어진 점 $(4, 9)$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (9) = - \frac{3}{2} \cdot (x - (4))$

단계 2.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y - 9 = - \frac{3}{2} \cdot (x - 4)$

단계 2.3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$- \frac{3}{2} \cdot (x - 4)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

다시 씁니다.

$y - 9 = 0 + 0 - \frac{3}{2} \cdot (x - 4)$

단계 2.3.1.2

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y - 9 = - \frac{3}{2} x - \frac{3}{2} \cdot - 4$

단계 2.3.1.2.2

$x$ 와 $\frac{3}{2}$ 을 묶습니다.

$y - 9 = - \frac{x \cdot 3}{2} - \frac{3}{2} \cdot - 4$

단계 2.3.1.2.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.2.3.1

$- \frac{3}{2}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$y - 9 = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot - 4$

단계 2.3.1.2.3.2

$- 4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y - 9 = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot (2 (- 2))$

단계 2.3.1.2.3.3

공약수로 약분합니다.

$y - 9 = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot (2 \cdot - 2)$

단계 2.3.1.2.3.4

수식을 다시 씁니다.

$y - 9 = - \frac{x \cdot 3}{2} - 3 \cdot - 2$

단계 2.3.1.2.4

$- 3$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$y - 9 = - \frac{x \cdot 3}{2} + 6$

단계 2.3.1.3

$x$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$y - 9 = - \frac{3 x}{2} + 6$

단계 2.3.2

$y$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

방정식의 양변에 $9$ 를 더합니다.

$y = - \frac{3 x}{2} + 6 + 9$

단계 2.3.2.2

$6$ 를 $9$ 에 더합니다.

$y = - \frac{3 x}{2} + 15$

단계 2.3.3

$y = m x + b$ 형태로 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

항을 다시 정렬합니다.

$y = - (\frac{3}{2} x) + 15$

단계 2.3.3.2

괄호를 제거합니다.

$y = - \frac{3}{2} x + 15$

단계 3