미적분 예제

$g (x) = \frac{6 x}{x + 2}$ at $(4, 4)$

단계 1

1차 도함수를 구하고 $x = 4$ , $y = 4$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

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단계 1.1

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{6 x}{x + 2}$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 2}]$ 입니다.

$6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 2}]$

단계 1.2

$f (x) = x$ , $g (x) = x + 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 \frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

단계 1.3

미분합니다.

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단계 1.3.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 \frac{(x + 2) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

단계 1.3.2

$x + 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$6 \frac{x + 2 - x \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

단계 1.3.3

합의 법칙에 의해 $x + 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ 가 됩니다.

$6 \frac{x + 2 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

단계 1.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 \frac{x + 2 - x (1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

단계 1.3.5

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$6 \frac{x + 2 - x (1 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

단계 1.3.6

항을 간단히 합니다.

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단계 1.3.6.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$6 \frac{x + 2 - x \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

단계 1.3.6.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$6 \frac{x + 2 - x}{{(x + 2)}^{2}}$

단계 1.3.6.3

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$6 \frac{0 + 2}{{(x + 2)}^{2}}$

단계 1.3.6.4

$0$ 를 $2$ 에 더합니다.

$6 \frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$

단계 1.3.6.5

$6$ 와 $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{6 \cdot 2}{{(x + 2)}^{2}}$

단계 1.3.6.6

$6$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{12}{{(x + 2)}^{2}}$

단계 1.4

$x = 4$ 일 때 도함수의 값을 계산합니다.

$\frac{12}{{((4) + 2)}^{2}}$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

분모를 간단히 합니다.

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단계 1.5.1.1

$4$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{12}{6^{2}}$

단계 1.5.1.2

$6$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{12}{36}$

단계 1.5.2

$12$ 및 $36$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.5.2.1

$12$ 에서 $12$ 를 인수분해합니다.

$\frac{12 (1)}{36}$

단계 1.5.2.2

공약수로 약분합니다.

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단계 1.5.2.2.1

$36$ 에서 $12$ 를 인수분해합니다.

$\frac{12 \cdot 1}{12 \cdot 3}$

단계 1.5.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{12 \cdot 1}{12 \cdot 3}$

단계 1.5.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{3}$

단계 2

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

기울기 $\frac{1}{3}$ 과 주어진 점 $(4, 4)$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (4) = \frac{1}{3} \cdot (x - (4))$

단계 2.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y - 4 = \frac{1}{3} \cdot (x - 4)$

단계 2.3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.3.1

$\frac{1}{3} \cdot (x - 4)$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1.1

다시 씁니다.

$y - 4 = 0 + 0 + \frac{1}{3} \cdot (x - 4)$

단계 2.3.1.2

0을 더해 식을 간단히 합니다.

$y - 4 = \frac{1}{3} \cdot (x - 4)$

단계 2.3.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y - 4 = \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} \cdot - 4$

단계 2.3.1.4

$\frac{1}{3}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$y - 4 = \frac{x}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 4$

단계 2.3.1.5

$\frac{1}{3}$ 와 $- 4$ 을 묶습니다.

$y - 4 = \frac{x}{3} + \frac{- 4}{3}$

단계 2.3.1.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y - 4 = \frac{x}{3} - \frac{4}{3}$

단계 2.3.2

$y$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 2.3.2.1

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$y = \frac{x}{3} - \frac{4}{3} + 4$

단계 2.3.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $4$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{x}{3} - \frac{4}{3} + 4 \cdot \frac{3}{3}$

단계 2.3.2.3

$4$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$y = \frac{x}{3} - \frac{4}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3}$

단계 2.3.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{x}{3} + \frac{- 4 + 4 \cdot 3}{3}$

단계 2.3.2.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.3.2.5.1

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$y = \frac{x}{3} + \frac{- 4 + 12}{3}$

단계 2.3.2.5.2

$- 4$ 를 $12$ 에 더합니다.

$y = \frac{x}{3} + \frac{8}{3}$

단계 2.3.3

항을 다시 정렬합니다.

$y = \frac{1}{3} x + \frac{8}{3}$

단계 3