미적분 예제

$y = \frac{- 3}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}$ ; $(0, - 3)$

단계 1

1차 도함수를 구하고 $x = 0$ , $y = - 3$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

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단계 1.1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}]$

단계 1.1.2

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{3}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}]$ 입니다.

$- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}]$

단계 1.1.3

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 1.1.3.1

$\frac{1}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}$ 을 ${({(3 x^{2} + 1)}^{3})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$- 3 \frac{d}{d x} [{({(3 x^{2} + 1)}^{3})}^{- 1}]$

단계 1.1.3.2

${({(3 x^{2} + 1)}^{3})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 1.1.3.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- 3 \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{3 \cdot - 1}]$

단계 1.1.3.2.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 3 \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{- 3}]$

단계 1.2

$f (x) = x^{- 3}$ , $g (x) = 3 x^{2} + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $3 x^{2} + 1$ 로 바꿉니다.

$- 3 (\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

단계 1.2.2

$n = - 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 3 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

단계 1.2.3

$u$ 를 모두 $3 x^{2} + 1$ 로 바꿉니다.

$- 3 (- 3 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

단계 1.3

미분합니다.

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단계 1.3.1

$- 3$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$9 ({(3 x^{2} + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

단계 1.3.2

합의 법칙에 의해 $3 x^{2} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$9 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 1.3.3

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{2}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$9 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 1.3.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$9 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [1])$

단계 1.3.5

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$9 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} (6 x + \frac{d}{d x} [1])$

단계 1.3.6

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$9 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} (6 x + 0)$

단계 1.3.7

식을 간단히 합니다.

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단계 1.3.7.1

$6 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$9 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} (6 x)$

단계 1.3.7.2

$6$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$54 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} x$

단계 1.4

간단히 합니다.

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단계 1.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$54 \frac{1}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}} x$

단계 1.4.2

항을 묶습니다.

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단계 1.4.2.1

$54$ 와 $\frac{1}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$ 을 묶습니다.

$\frac{54}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}} x$

단계 1.4.2.2

$\frac{54}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{54 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.5

$x = 0$ 일 때 도함수의 값을 계산합니다.

$\frac{54 (0)}{{(3 {(0)}^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.6

간단히 합니다.

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단계 1.6.1

$54$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{0}{{(3 \cdot 0^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.6.2

분모를 간단히 합니다.

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단계 1.6.2.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{0}{{(3 \cdot 0 + 1)}^{4}}$

단계 1.6.2.2

$3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{0}{{(0 + 1)}^{4}}$

단계 1.6.2.3

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{0}{1^{4}}$

단계 1.6.2.4

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{0}{1}$

단계 1.6.3

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$0$

단계 2

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

기울기 $0$ 과 주어진 점 $(0, - 3)$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (- 3) = 0 \cdot (x - (0))$

단계 2.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y + 3 = 0 \cdot (x + 0)$

단계 2.3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.3.1

$0 \cdot (x + 0)$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1.1

$x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y + 3 = 0 \cdot x$

단계 2.3.1.2

$0$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$y + 3 = 0$

단계 2.3.2

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$y = - 3$

단계 3