미적분 예제

$y = {(e^{2 x} - 4)}^{2}$ , $(0, 9)$

단계 1

1차 도함수를 구하고 $x = 0$ , $y = 9$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

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단계 1.1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = e^{2 x} - 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $e^{2 x} - 4$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 4]$

단계 1.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 4]$

단계 1.1.3

$u_{1}$ 를 모두 $e^{2 x} - 4$ 로 바꿉니다.

$2 (e^{2 x} - 4) \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 4]$

단계 1.2

합의 법칙에 의해 $e^{2 x} - 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 가 됩니다.

$2 (e^{2 x} - 4) (\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4])$

단계 1.3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$2 (e^{2 x} - 4) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

단계 1.3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (e^{2 x} - 4) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

단계 1.3.3

$u_{2}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$2 (e^{2 x} - 4) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

단계 1.4

미분합니다.

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단계 1.4.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 (e^{2 x} - 4) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 4])$

단계 1.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (e^{2 x} - 4) (e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4])$

단계 1.4.3

식을 간단히 합니다.

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단계 1.4.3.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 (e^{2 x} - 4) (e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 4])$

단계 1.4.3.2

$e^{2 x}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 (e^{2 x} - 4) (2 \cdot e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- 4])$

단계 1.4.4

$- 4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 4$ 입니다.

$2 (e^{2 x} - 4) (2 e^{2 x} + 0)$

단계 1.4.5

식을 간단히 합니다.

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단계 1.4.5.1

$2 e^{2 x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 (e^{2 x} - 4) (2 e^{2 x})$

단계 1.4.5.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 (e^{2 x} - 4) e^{2 x}$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(4 e^{2 x} + 4 \cdot - 4) e^{2 x}$

단계 1.5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$4 e^{2 x} e^{2 x} + 4 \cdot - 4 e^{2 x}$

단계 1.5.3

항을 묶습니다.

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단계 1.5.3.1

지수를 더하여 $e^{2 x}$ 에 $e^{2 x}$ 을 곱합니다.

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단계 1.5.3.1.1

$e^{2 x}$ 를 옮깁니다.

$4 (e^{2 x} e^{2 x}) + 4 \cdot - 4 e^{2 x}$

단계 1.5.3.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$4 e^{2 x + 2 x} + 4 \cdot - 4 e^{2 x}$

단계 1.5.3.1.3

$2 x$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$4 e^{4 x} + 4 \cdot - 4 e^{2 x}$

단계 1.5.3.2

$4$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$4 e^{4 x} - 16 e^{2 x}$

단계 1.6

$x = 0$ 일 때 도함수의 값을 계산합니다.

$4 e^{4 (0)} - 16 e^{2 (0)}$

단계 1.7

간단히 합니다.

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단계 1.7.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.7.1.1

$4$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$4 e^{0} - 16 e^{2 (0)}$

단계 1.7.1.2

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$4 \cdot 1 - 16 e^{2 (0)}$

단계 1.7.1.3

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 - 16 e^{2 (0)}$

단계 1.7.1.4

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$4 - 16 e^{0}$

단계 1.7.1.5

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$4 - 16 \cdot 1$

단계 1.7.1.6

$- 16$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 - 16$

단계 1.7.2

$4$ 에서 $16$ 을 뺍니다.

$- 12$

단계 2

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

기울기 $- 12$ 과 주어진 점 $(0, 9)$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (9) = - 12 \cdot (x - (0))$

단계 2.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y - 9 = - 12 \cdot (x + 0)$

단계 2.3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.3.1

$x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y - 9 = - 12 x$

단계 2.3.2

방정식의 양변에 $9$ 를 더합니다.

$y = - 12 x + 9$

단계 3