미적분 예제

$f (x) = \frac{1}{x^{3}}$ at the point $(1, 1)$

단계 1

1차 도함수를 구하고 $x = 1$ , $y = 1$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

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단계 1.1

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 1.1.1

$\frac{1}{x^{3}}$ 을 ${(x^{3})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

단계 1.1.2

${(x^{3})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 1.1.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

단계 1.1.2.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

단계 1.2

$n = - 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 3 x^{- 4}$

단계 1.3

간단히 합니다.

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단계 1.3.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- 3 \frac{1}{x^{4}}$

단계 1.3.2

항을 묶습니다.

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단계 1.3.2.1

$- 3$ 와 $\frac{1}{x^{4}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 3}{x^{4}}$

단계 1.3.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{3}{x^{4}}$

단계 1.4

$x = 1$ 일 때 도함수의 값을 계산합니다.

$- \frac{3}{{(1)}^{4}}$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$- \frac{3}{1}$

단계 1.5.2

$3$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 1 \cdot 3$

단계 1.5.3

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- 3$

단계 2

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

기울기 $- 3$ 과 주어진 점 $(1, 1)$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (1) = - 3 \cdot (x - (1))$

단계 2.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y - 1 = - 3 \cdot (x - 1)$

단계 2.3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.3.1

$- 3 \cdot (x - 1)$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1.1

다시 씁니다.

$y - 1 = 0 + 0 - 3 \cdot (x - 1)$

단계 2.3.1.2

0을 더해 식을 간단히 합니다.

$y - 1 = - 3 \cdot (x - 1)$

단계 2.3.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y - 1 = - 3 x - 3 \cdot - 1$

단계 2.3.1.4

$- 3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y - 1 = - 3 x + 3$

단계 2.3.2

$y$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 2.3.2.1

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$y = - 3 x + 3 + 1$

단계 2.3.2.2

$3$ 를 $1$ 에 더합니다.

$y = - 3 x + 4$

단계 3