미적분 예제

$y = \ln (x^{\frac{9}{2}})$ ; $(1, 0)$

단계 1

1차 도함수를 구하고 $x = 1$ , $y = 0$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

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단계 1.1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = x^{\frac{9}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{\frac{9}{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{9}{2}}]$

단계 1.1.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{9}{2}}]$

단계 1.1.3

$u$ 를 모두 $x^{\frac{9}{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{x^{\frac{9}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{9}{2}}]$

단계 1.2

$n = \frac{9}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{x^{\frac{9}{2}}} (\frac{9}{2} x^{\frac{9}{2} - 1})$

단계 1.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x^{\frac{9}{2}}} (\frac{9}{2} x^{\frac{9}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

단계 1.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{x^{\frac{9}{2}}} (\frac{9}{2} x^{\frac{9}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

단계 1.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{x^{\frac{9}{2}}} (\frac{9}{2} x^{\frac{9 - 1 \cdot 2}{2}})$

단계 1.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x^{\frac{9}{2}}} (\frac{9}{2} x^{\frac{9 - 2}{2}})$

단계 1.6.2

$9$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{x^{\frac{9}{2}}} (\frac{9}{2} x^{\frac{7}{2}})$

단계 1.7

$\frac{9}{2}$ 와 $x^{\frac{7}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{x^{\frac{9}{2}}} \cdot \frac{9 x^{\frac{7}{2}}}{2}$

단계 1.8

$\frac{1}{x^{\frac{9}{2}}}$ 에 $\frac{9 x^{\frac{7}{2}}}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{9 x^{\frac{7}{2}}}{x^{\frac{9}{2}} \cdot 2}$

단계 1.9

식을 간단히 합니다.

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단계 1.9.1

$x^{\frac{9}{2}}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{9 x^{\frac{7}{2}}}{2 \cdot x^{\frac{9}{2}}}$

단계 1.9.2

음의 지수 법칙 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 을 활용하여 $x^{\frac{7}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{9}{2 x^{\frac{9}{2}} x^{- \frac{7}{2}}}$

단계 1.10

분모를 간단히 합니다.

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단계 1.10.1

지수를 더하여 $x^{\frac{9}{2}}$ 에 $x^{- \frac{7}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 1.10.1.1

$x^{- \frac{7}{2}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{9}{2 (x^{- \frac{7}{2}} x^{\frac{9}{2}})}$

단계 1.10.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{9}{2 x^{- \frac{7}{2} + \frac{9}{2}}}$

단계 1.10.1.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{9}{2 x^{\frac{- 7 + 9}{2}}}$

단계 1.10.1.4

$- 7$ 를 $9$ 에 더합니다.

$\frac{9}{2 x^{\frac{2}{2}}}$

단계 1.10.1.5

$2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{9}{2 x^{1}}$

단계 1.10.2

$2 x^{1}$ 을 간단히 합니다.

$\frac{9}{2 x}$

단계 1.11

$x = 1$ 일 때 도함수의 값을 계산합니다.

$\frac{9}{2 (1)}$

단계 1.12

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{9}{2}$

단계 2

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

기울기 $\frac{9}{2}$ 과 주어진 점 $(1, 0)$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (0) = \frac{9}{2} \cdot (x - (1))$

단계 2.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y + 0 = \frac{9}{2} \cdot (x - 1)$

단계 2.3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.3.1

$y$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y = \frac{9}{2} \cdot (x - 1)$

단계 2.3.2

$\frac{9}{2} \cdot (x - 1)$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.3.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{9}{2} x + \frac{9}{2} \cdot - 1$

단계 2.3.2.2

$\frac{9}{2}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$y = \frac{9 x}{2} + \frac{9}{2} \cdot - 1$

단계 2.3.2.3

$\frac{9}{2} \cdot - 1$ 을 곱합니다.

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단계 2.3.2.3.1

$\frac{9}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$y = \frac{9 x}{2} + \frac{9 \cdot - 1}{2}$

단계 2.3.2.3.2

$9$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{9 x}{2} + \frac{- 9}{2}$

단계 2.3.2.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y = \frac{9 x}{2} - \frac{9}{2}$

단계 2.3.3

항을 다시 정렬합니다.

$y = \frac{9}{2} x - \frac{9}{2}$

단계 3