미적분 예제

$y e^{\sin (x)} = x \cos (y)$ , $(0, 0)$

단계 1

1차 도함수를 구하고 $x = 0$ , $y = 0$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y e^{\sin (x)}) = \frac{d}{d x} (x \cos (y))$

단계 1.2

방정식의 좌변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$f (x) = y$ , $g (x) = e^{\sin (x)}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y \frac{d}{d x} [e^{\sin (x)}] + e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} [y]$

단계 1.2.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = \sin (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} [y]$

단계 1.2.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y (e^{u} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} [y]$

단계 1.2.2.3

$u$ 를 모두 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$y (e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} [y]$

단계 1.2.3

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$y e^{\sin (x)} \cos (x) + e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} [y]$

단계 1.2.4

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$y e^{\sin (x)} \cos (x) + e^{\sin (x)} y'$

단계 1.3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 1.3.1

$f (x) = x$ , $g (x) = \cos (y)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.3.2

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.3.2.2

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u)$ 입니다.

$x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.3.2.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$x (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$x (- \sin (y) y') + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (- \sin (y) y') + \cos (y) \cdot 1$

단계 1.3.5

식을 간단히 합니다.

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단계 1.3.5.1

$\cos (y)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x (- \sin (y) y') + \cos (y)$

단계 1.3.5.2

항을 다시 정렬합니다.

$- x \sin (y) y' + \cos (y)$

단계 1.4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y e^{\sin (x)} \cos (x) + e^{\sin (x)} y' = - x \sin (y) y' + \cos (y)$

단계 1.5

$y'$ 에 대해 풉니다.

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단계 1.5.1

좌변을 간단히 합니다.

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단계 1.5.1.1

$y e^{\sin (x)} \cos (x) + e^{\sin (x)} y'$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y e^{\sin (x)} \cos (x) + y' e^{\sin (x)} = - x \sin (y) y' + \cos (y)$

단계 1.5.2

우변을 간단히 합니다.

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단계 1.5.2.1

$- x \sin (y) y' + \cos (y)$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y e^{\sin (x)} \cos (x) + y' e^{\sin (x)} = - x y' \sin (y) + \cos (y)$

단계 1.5.3

방정식의 양변에 $x y' \sin (y)$ 를 더합니다.

$y e^{\sin (x)} \cos (x) + y' e^{\sin (x)} + x y' \sin (y) = \cos (y)$

단계 1.5.4

방정식의 양변에서 $y e^{\sin (x)} \cos (x)$ 를 뺍니다.

$y' e^{\sin (x)} + x y' \sin (y) = \cos (y) - y e^{\sin (x)} \cos (x)$

단계 1.5.5

$y' e^{\sin (x)} + x y' \sin (y)$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.5.5.1

$x y' \sin (y)$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (e^{\sin (x)}) + y' (x \sin (y)) = \cos (y) - y e^{\sin (x)} \cos (x)$

단계 1.5.5.2

$y' (e^{\sin (x)}) + y' (x \sin (y))$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (e^{\sin (x)} + x \sin (y)) = \cos (y) - y e^{\sin (x)} \cos (x)$

단계 1.5.6

$y' (e^{\sin (x)} + x \sin (y)) = \cos (y) - y e^{\sin (x)} \cos (x)$ 의 각 항을 $e^{\sin (x)} + x \sin (y)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 1.5.6.1

$y' (e^{\sin (x)} + x \sin (y)) = \cos (y) - y e^{\sin (x)} \cos (x)$ 의 각 항을 $e^{\sin (x)} + x \sin (y)$ 로 나눕니다.

$\frac{y' (e^{\sin (x)} + x \sin (y))}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)} = \frac{\cos (y)}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)} + \frac{- y e^{\sin (x)} \cos (x)}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)}$

단계 1.5.6.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 1.5.6.2.1

$e^{\sin (x)} + x \sin (y)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.5.6.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (e^{\sin (x)} + x \sin (y))}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)} = \frac{\cos (y)}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)} + \frac{- y e^{\sin (x)} \cos (x)}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)}$

단계 1.5.6.2.1.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{\cos (y)}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)} + \frac{- y e^{\sin (x)} \cos (x)}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)}$

단계 1.5.6.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 1.5.6.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = \frac{\cos (y)}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)} - \frac{y e^{\sin (x)} \cos (x)}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)}$

단계 1.5.6.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y' = \frac{\cos (y) - y e^{\sin (x)} \cos (x)}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)}$

단계 1.6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos (y) - y e^{\sin (x)} \cos (x)}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)}$

단계 1.7

$y = 0$ 와 $x = 0$ 값을 구합니다.

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단계 1.7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$\frac{\cos (y) - y e^{\sin (0)} \cos (0)}{e^{\sin (0)} + (0) \sin (y)}$

단계 1.7.2

수식에서 변수 $y$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$\frac{\cos (0) + 0 \cdot (e^{\sin (0)} \cos (0))}{e^{\sin (0)} + (0) \sin (0)}$

단계 1.7.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.7.3.1

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$\frac{1 + 0 \cdot (e^{\sin (0)} \cos (0))}{e^{\sin (0)} + (0) \sin (0)}$

단계 1.7.3.2

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{1 + 0 \cdot (e^{0} \cos (0))}{e^{\sin (0)} + (0) \sin (0)}$

단계 1.7.3.3

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$\frac{1 + 0 \cdot (1 \cos (0))}{e^{\sin (0)} + (0) \sin (0)}$

단계 1.7.3.4

$\cos (0)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1 + 0 \cdot \cos (0)}{e^{\sin (0)} + (0) \sin (0)}$

단계 1.7.3.5

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$\frac{1 + 0 \cdot 1}{e^{\sin (0)} + (0) \sin (0)}$

단계 1.7.3.6

$0$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1 + 0}{e^{\sin (0)} + (0) \sin (0)}$

단계 1.7.3.7

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{e^{\sin (0)} + (0) \sin (0)}$

단계 1.7.4

분모를 간단히 합니다.

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단계 1.7.4.1

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{1}{e^{0} + (0) \sin (0)}$

단계 1.7.4.2

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$\frac{1}{1 + (0) \sin (0)}$

단계 1.7.4.3

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{1}{1 + 0 \cdot 0}$

단계 1.7.4.4

$0$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{1 + 0}$

단계 1.7.4.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{1}$

단계 1.7.5

$1$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.7.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{1}$

단계 1.7.5.2

수식을 다시 씁니다.

$1$

단계 2

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

기울기 $1$ 과 주어진 점 $(0, 0)$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (0) = 1 \cdot (x - (0))$

단계 2.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y + 0 = 1 \cdot (x + 0)$

단계 2.3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.3.1

$y$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y = 1 \cdot (x + 0)$

단계 2.3.2

$1 \cdot (x + 0)$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.3.2.1

$x + 0$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = x + 0$

단계 2.3.2.2

$x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y = x$

단계 3