미적분 예제

$y = \ln (x^{2} - 2 x + 1)$ , $(2, 0)$

단계 1

1차 도함수를 구하고 $x = 2$ , $y = 0$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

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단계 1.1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = x^{2} - 2 x + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} - 2 x + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$

단계 1.1.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$

단계 1.1.3

$u$ 를 모두 $x^{2} - 2 x + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$

단계 1.2

미분합니다.

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단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 2 x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 1.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 1.2.3

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 1.2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

단계 1.2.5

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1])$

단계 1.2.6

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2 + 0)$

단계 1.2.7

$2 x - 2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2)$

단계 1.3

간단히 합니다.

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단계 1.3.1

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$(2 x - 2) \frac{1}{x^{2} - 2 x + 1}$

단계 1.3.2

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

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단계 1.3.2.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$(2 x - 2) \frac{1}{x^{2} - 2 x + 1^{2}}$

단계 1.3.2.2

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

단계 1.3.2.3

다항식을 다시 씁니다.

$(2 x - 2) \frac{1}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}$

단계 1.3.2.4

$a = x$ 이고 $b = 1$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$(2 x - 2) \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.3.3

$2 x - 2$ 에 $\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x - 2}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.3.4

$2 x - 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.3.4.1

$2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (x) - 2}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.3.4.2

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (x) + 2 (- 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.3.4.3

$2 (x) + 2 (- 1)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (x - 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.3.5

$x - 1$ 및 ${(x - 1)}^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.3.5.1

$2 (x - 1)$ 에서 $x - 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(x - 1) \cdot 2}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.3.5.2

공약수로 약분합니다.

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단계 1.3.5.2.1

${(x - 1)}^{2}$ 에서 $x - 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(x - 1) \cdot 2}{(x - 1) (x - 1)}$

단계 1.3.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{(x - 1) \cdot 2}{(x - 1) (x - 1)}$

단계 1.3.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2}{x - 1}$

단계 1.4

$x = 2$ 일 때 도함수의 값을 계산합니다.

$\frac{2}{(2) - 1}$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{2}{1}$

단계 1.5.2

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2$

단계 2

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

기울기 $2$ 과 주어진 점 $(2, 0)$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (0) = 2 \cdot (x - (2))$

단계 2.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y + 0 = 2 \cdot (x - 2)$

단계 2.3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.3.1

$y$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y = 2 \cdot (x - 2)$

단계 2.3.2

$2 \cdot (x - 2)$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.3.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y = 2 x + 2 \cdot - 2$

단계 2.3.2.2

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$y = 2 x - 4$

단계 3