미적분 예제

$x^{2} y^{2} = 3 y + 1$ at $(2, 1)$

단계 1

1차 도함수를 구하고 $x = 2$ , $y = 1$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

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단계 1.1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y^{2}) = \frac{d}{d x} (3 y + 1)$

단계 1.2

방정식의 좌변을 미분합니다.

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단계 1.2.1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = y^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.2.2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.2.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.2.2.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.2.3

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 \cdot x^{2} y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.2.4

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$2 x^{2} y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.2.5

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x^{2} y y' + y^{2} (2 x)$

단계 1.2.6

$y^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x$

단계 1.3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 1.3.1

합의 법칙에 의해 $3 y + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.3.2

$\frac{d}{d x} [3 y]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.2.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 y$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [y]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.3.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$3 y' + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.3.3

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.3.3.1

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$3 y' + 0$

단계 1.3.3.2

$3 y'$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3 y'$

단계 1.4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x = 3 y'$

단계 1.5

$y'$ 에 대해 풉니다.

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단계 1.5.1

방정식의 양변에서 $3 y'$ 를 뺍니다.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 3 y' = 0$

단계 1.5.2

방정식의 양변에서 $2 y^{2} x$ 를 뺍니다.

$2 x^{2} y y' - 3 y' = - 2 y^{2} x$

단계 1.5.3

$2 x^{2} y y' - 3 y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.5.3.1

$2 x^{2} y y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (2 x^{2} y) - 3 y' = - 2 y^{2} x$

단계 1.5.3.2

$- 3 y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (2 x^{2} y) + y' \cdot - 3 = - 2 y^{2} x$

단계 1.5.3.3

$y' (2 x^{2} y) + y' \cdot - 3$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (2 x^{2} y - 3) = - 2 y^{2} x$

단계 1.5.4

$y' (2 x^{2} y - 3) = - 2 y^{2} x$ 의 각 항을 $2 x^{2} y - 3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 1.5.4.1

$y' (2 x^{2} y - 3) = - 2 y^{2} x$ 의 각 항을 $2 x^{2} y - 3$ 로 나눕니다.

$\frac{y' (2 x^{2} y - 3)}{2 x^{2} y - 3} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y - 3}$

단계 1.5.4.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 1.5.4.2.1

$2 x^{2} y - 3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.5.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (2 x^{2} y - 3)}{2 x^{2} y - 3} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y - 3}$

단계 1.5.4.2.1.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y - 3}$

단계 1.5.4.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 1.5.4.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{2 y^{2} x}{2 x^{2} y - 3}$

단계 1.6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y^{2} x}{2 x^{2} y - 3}$

단계 1.7

$y = 1$ 와 $x = 2$ 값을 구합니다.

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단계 1.7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $2$ 을 대입합니다.

$- \frac{2 y^{2} (2)}{2 {(2)}^{2} y - 3}$

단계 1.7.2

수식에서 변수 $y$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$- \frac{2 {(1)}^{2} (2)}{2 {(2)}^{2} (1) - 3}$

단계 1.7.3

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{4 \cdot 1^{2}}{2 \cdot 2^{2} \cdot 1 - 3}$

단계 1.7.4

분모를 간단히 합니다.

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단계 1.7.4.1

지수를 더하여 $2$ 에 $2^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 1.7.4.1.1

$2$ 에 $2^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 1.7.4.1.1.1

$2$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{4 \cdot 1^{2}}{2^{1} \cdot 2^{2} \cdot 1 - 3}$

단계 1.7.4.1.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{4 \cdot 1^{2}}{2^{1 + 2} \cdot 1 - 3}$

단계 1.7.4.1.2

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$- \frac{4 \cdot 1^{2}}{2^{3} \cdot 1 - 3}$

단계 1.7.4.2

$2^{3} \cdot 1$ 을 간단히 합니다.

$- \frac{4 \cdot 1^{2}}{2^{3} - 3}$

단계 1.7.4.3

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$- \frac{4 \cdot 1^{2}}{8 - 3}$

단계 1.7.4.4

$8$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$- \frac{4 \cdot 1^{2}}{5}$

단계 1.7.5

식을 간단히 합니다.

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단계 1.7.5.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$- \frac{4 \cdot 1}{5}$

단계 1.7.5.2

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{4}{5}$

단계 2

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

기울기 $- \frac{4}{5}$ 과 주어진 점 $(2, 1)$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (1) = - \frac{4}{5} \cdot (x - (2))$

단계 2.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y - 1 = - \frac{4}{5} \cdot (x - 2)$

단계 2.3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.3.1

$- \frac{4}{5} \cdot (x - 2)$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1.1

다시 씁니다.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{4}{5} \cdot (x - 2)$

단계 2.3.1.2

0을 더해 식을 간단히 합니다.

$y - 1 = - \frac{4}{5} \cdot (x - 2)$

단계 2.3.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y - 1 = - \frac{4}{5} x - \frac{4}{5} \cdot - 2$

단계 2.3.1.4

$x$ 와 $\frac{4}{5}$ 을 묶습니다.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 4}{5} - \frac{4}{5} \cdot - 2$

단계 2.3.1.5

$- \frac{4}{5} \cdot - 2$ 을 곱합니다.

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단계 2.3.1.5.1

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 4}{5} + 2 (\frac{4}{5})$

단계 2.3.1.5.2

$2$ 와 $\frac{4}{5}$ 을 묶습니다.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 4}{5} + \frac{2 \cdot 4}{5}$

단계 2.3.1.5.3

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 4}{5} + \frac{8}{5}$

단계 2.3.1.6

$x$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$y - 1 = - \frac{4 x}{5} + \frac{8}{5}$

단계 2.3.2

$y$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 2.3.2.1

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$y = - \frac{4 x}{5} + \frac{8}{5} + 1$

단계 2.3.2.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$y = - \frac{4 x}{5} + \frac{8}{5} + \frac{5}{5}$

단계 2.3.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = - \frac{4 x}{5} + \frac{8 + 5}{5}$

단계 2.3.2.4

$8$ 를 $5$ 에 더합니다.

$y = - \frac{4 x}{5} + \frac{13}{5}$

단계 2.3.3

$y = m x + b$ 형태로 씁니다.

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단계 2.3.3.1

항을 다시 정렬합니다.

$y = - (\frac{4}{5} x) + \frac{13}{5}$

단계 2.3.3.2

괄호를 제거합니다.

$y = - \frac{4}{5} x + \frac{13}{5}$

단계 3