미적분 예제

$y = 4 \sin (x) \cos (x)$ ; $x = \frac{π}{2}$

단계 1

$x = \frac{π}{2}$ 에 상당하는 $y$ 값을 구합니다.

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단계 1.1

$x$ 에 $\frac{π}{2}$ 를 대입합니다.

$y = 4 \sin (\frac{π}{2}) \cos (\frac{π}{2})$

단계 1.2

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 1.2.1

괄호를 제거합니다.

$y = 4 \sin (\frac{π}{2}) \cos (\frac{π}{2})$

단계 1.2.2

$4 \sin (\frac{π}{2}) \cos (\frac{π}{2})$ 을 간단히 합니다.

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단계 1.2.2.1

$\sin (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$y = 4 \cdot 1 \cos (\frac{π}{2})$

단계 1.2.2.2

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = 4 \cos (\frac{π}{2})$

단계 1.2.2.3

$\cos (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$y = 4 \cdot 0$

단계 1.2.2.4

$4$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$y = 0$

단계 2

1차 도함수를 구하고 $x = \frac{π}{2}$ , $y = 0$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

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단계 2.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 \sin (x) \cos (x)$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

단계 2.2

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = \cos (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

단계 2.3

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$4 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

단계 2.4

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$4 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

단계 2.5

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$4 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

단계 2.6

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$4 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

단계 2.7

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

단계 2.8

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

단계 2.9

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))$

단계 2.10

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

단계 2.11

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$4 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

단계 2.12

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

단계 2.13

간단히 합니다.

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단계 2.13.1

분배 법칙을 적용합니다.

$4 (- \sin^{2} (x)) + 4 \cos^{2} (x)$

단계 2.13.2

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- 4 \sin^{2} (x) + 4 \cos^{2} (x)$

단계 2.13.3

$4 \cos^{2} (x)$ 을 ${(2 \cos (x))}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- 4 \sin^{2} (x) + {(2 \cos (x))}^{2}$

단계 2.13.4

$4 \sin^{2} (x)$ 을 ${(2 \sin (x))}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- {(2 \sin (x))}^{2} + {(2 \cos (x))}^{2}$

단계 2.13.5

$- {(2 \sin (x))}^{2}$ 와 ${(2 \cos (x))}^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

${(2 \cos (x))}^{2} - {(2 \sin (x))}^{2}$

단계 2.13.6

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 2 \cos (x)$ 이고 $b = 2 \sin (x)$ 입니다.

$(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) - (2 \sin (x)))$

단계 2.13.7

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$

단계 2.13.8

FOIL 계산법을 이용하여 $(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$ 를 전개합니다.

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단계 2.13.8.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2 \cos (x) (2 \cos (x) - 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$

단계 2.13.8.2

분배 법칙을 적용합니다.

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$

단계 2.13.8.3

분배 법칙을 적용합니다.

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

단계 2.13.9

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 2.13.9.1

인수가 항 $2 \cos (x) (- 2 \sin (x))$ 과(와) $2 \sin (x) (2 \cos (x))$ (으)로 표현되도록 다시 정렬합니다.

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) - 2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

단계 2.13.9.2

$- 2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x)$ 를 $2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x)$ 에 더합니다.

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 0 + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

단계 2.13.9.3

$2 \cos (x) (2 \cos (x))$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

단계 2.13.10

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.13.10.1

$2 \cos (x) (2 \cos (x))$ 을 곱합니다.

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단계 2.13.10.1.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 \cos (x) \cos (x) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

단계 2.13.10.1.2

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$4 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

단계 2.13.10.1.3

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$4 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

단계 2.13.10.1.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$4 {\cos (x)}^{1 + 1} + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

단계 2.13.10.1.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

단계 2.13.10.2

$2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$ 을 곱합니다.

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단계 2.13.10.2.1

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 \cos^{2} (x) - 4 \sin (x) \sin (x)$

단계 2.13.10.2.2

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$4 \cos^{2} (x) - 4 (\sin^{1} (x) \sin (x))$

단계 2.13.10.2.3

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$4 \cos^{2} (x) - 4 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

단계 2.13.10.2.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$4 \cos^{2} (x) - 4 {\sin (x)}^{1 + 1}$

단계 2.13.10.2.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$4 \cos^{2} (x) - 4 \sin^{2} (x)$

단계 2.14

$x = \frac{π}{2}$ 일 때 도함수의 값을 계산합니다.

$4 \cos^{2} (\frac{π}{2}) - 4 \sin^{2} (\frac{π}{2})$

단계 2.15

간단히 합니다.

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단계 2.15.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.15.1.1

$\cos (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$4 \cdot 0^{2} - 4 \sin^{2} (\frac{π}{2})$

단계 2.15.1.2

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$4 \cdot 0 - 4 \sin^{2} (\frac{π}{2})$

단계 2.15.1.3

$4$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 - 4 \sin^{2} (\frac{π}{2})$

단계 2.15.1.4

$\sin (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$0 - 4 \cdot 1^{2}$

단계 2.15.1.5

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$0 - 4 \cdot 1$

단계 2.15.1.6

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 - 4$

단계 2.15.2

$0$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$- 4$

단계 3

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.1

기울기 $- 4$ 과 주어진 점 $(\frac{π}{2}, 0)$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (0) = - 4 \cdot (x - (\frac{π}{2}))$

단계 3.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y + 0 = - 4 \cdot (x - \frac{π}{2})$

단계 3.3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.3.1

$y$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y = - 4 \cdot (x - \frac{π}{2})$

단계 3.3.2

$- 4 \cdot (x - \frac{π}{2})$ 을 간단히 합니다.

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단계 3.3.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y = - 4 x - 4 (- \frac{π}{2})$

단계 3.3.2.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.3.2.2.1

$- \frac{π}{2}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$y = - 4 x - 4 \frac{- π}{2}$

단계 3.3.2.2.2

$- 4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = - 4 x + 2 (- 2) \frac{- π}{2}$

단계 3.3.2.2.3

공약수로 약분합니다.

$y = - 4 x + 2 \cdot - 2 \frac{- π}{2}$

단계 3.3.2.2.4

수식을 다시 씁니다.

$y = - 4 x - 2 (- π)$

단계 3.3.2.3

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$y = - 4 x + 2 π$

단계 4