미적분 예제

$f (x) = \frac{2}{3} x^{2} - 2 x + 5$ at $(2, \frac{11}{3})$

단계 1

1차 도함수를 구하고 $x = 2$ , $y = \frac{11}{3}$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

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단계 1.1

합의 법칙에 의해 $\frac{2}{3} x^{2} - 2 x + 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.2.1

$\frac{2}{3}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{2}{3} x^{2}$ 의 미분은 $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

단계 1.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2}{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

단계 1.2.3

$2$ 와 $\frac{2}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 \cdot 2}{3} x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

단계 1.2.4

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{3} x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

단계 1.2.5

$\frac{4}{3}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{4 x}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{4 x}{3} - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

단계 1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{4 x}{3} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

단계 1.3.3

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{4 x}{3} - 2 + \frac{d}{d x} [5]$

단계 1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.4.1

$5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $5$ 입니다.

$\frac{4 x}{3} - 2 + 0$

단계 1.4.2

$\frac{4 x}{3} - 2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{4 x}{3} - 2$

단계 1.5

$x = 2$ 일 때 도함수의 값을 계산합니다.

$\frac{4 (2)}{3} - 2$

단계 1.6

간단히 합니다.

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단계 1.6.1

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{8}{3} - 2$

단계 1.6.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 2$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{8}{3} - 2 \cdot \frac{3}{3}$

단계 1.6.3

$- 2$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{8}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3}$

단계 1.6.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{8 - 2 \cdot 3}{3}$

단계 1.6.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.6.5.1

$- 2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{8 - 6}{3}$

단계 1.6.5.2

$8$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$\frac{2}{3}$

단계 2

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

기울기 $\frac{2}{3}$ 과 주어진 점 $(2, \frac{11}{3})$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (\frac{11}{3}) = \frac{2}{3} \cdot (x - (2))$

단계 2.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y - \frac{11}{3} = \frac{2}{3} \cdot (x - 2)$

단계 2.3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.3.1

$\frac{2}{3} \cdot (x - 2)$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1.1

다시 씁니다.

$y - \frac{11}{3} = 0 + 0 + \frac{2}{3} \cdot (x - 2)$

단계 2.3.1.2

0을 더해 식을 간단히 합니다.

$y - \frac{11}{3} = \frac{2}{3} \cdot (x - 2)$

단계 2.3.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y - \frac{11}{3} = \frac{2}{3} x + \frac{2}{3} \cdot - 2$

단계 2.3.1.4

$\frac{2}{3}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$y - \frac{11}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot - 2$

단계 2.3.1.5

$\frac{2}{3} \cdot - 2$ 을 곱합니다.

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단계 2.3.1.5.1

$\frac{2}{3}$ 와 $- 2$ 을 묶습니다.

$y - \frac{11}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{2 \cdot - 2}{3}$

단계 2.3.1.5.2

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$y - \frac{11}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{- 4}{3}$

단계 2.3.1.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y - \frac{11}{3} = \frac{2 x}{3} - \frac{4}{3}$

단계 2.3.2

$y$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 2.3.2.1

방정식의 양변에 $\frac{11}{3}$ 를 더합니다.

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{4}{3} + \frac{11}{3}$

단계 2.3.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{2 x - 4 + 11}{3}$

단계 2.3.2.3

$- 4$ 를 $11$ 에 더합니다.

$y = \frac{2 x + 7}{3}$

단계 2.3.2.4

분수 $\frac{2 x + 7}{3}$ 를 두 개의 분수로 나눕니다.

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{7}{3}$

단계 2.3.3

항을 다시 정렬합니다.

$y = \frac{2}{3} x + \frac{7}{3}$

단계 3