미적분 예제

$y = \sec (x) - 2 \cos (x)$ , $p = (\frac{π}{3}, 1)$

단계 1

1차 도함수를 구하고 $x = \frac{π}{3}$ , $y = 1$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

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단계 1.1

합의 법칙에 의해 $\sec (x) - 2 \cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

단계 1.2

$\sec (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\sec (x) \tan (x)$ 입니다.

$\sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 \cos (x)$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 입니다.

$\sec (x) \tan (x) - 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 1.3.2

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$\sec (x) \tan (x) - 2 (- \sin (x))$

단계 1.3.3

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\sec (x) \tan (x) + 2 \sin (x)$

단계 1.4

$x = \frac{π}{3}$ 일 때 도함수의 값을 계산합니다.

$\sec (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{3}) + 2 \sin (\frac{π}{3})$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.5.1.1

$\sec (\frac{π}{3})$ 의 정확한 값은 $2$ 입니다.

$2 \tan (\frac{π}{3}) + 2 \sin (\frac{π}{3})$

단계 1.5.1.2

$\tan (\frac{π}{3})$ 의 정확한 값은 $\sqrt{3}$ 입니다.

$2 \sqrt{3} + 2 \sin (\frac{π}{3})$

단계 1.5.1.3

$\sin (\frac{π}{3})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 입니다.

$2 \sqrt{3} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

단계 1.5.1.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.5.1.4.1

공약수로 약분합니다.

$2 \sqrt{3} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

단계 1.5.1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$2 \sqrt{3} + \sqrt{3}$

단계 1.5.2

$2 \sqrt{3}$ 를 $\sqrt{3}$ 에 더합니다.

$3 \sqrt{3}$

단계 2

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

기울기 $3 \sqrt{3}$ 과 주어진 점 $p = (\frac{π}{3}, 1)$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (1) = 3 \sqrt{3} \cdot (x - (\frac{π}{3}))$

단계 2.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y - 1 = 3 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{3})$

단계 2.3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.3.1

$3 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{3})$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1.1

다시 씁니다.

$y - 1 = 0 + 0 + 3 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{3})$

단계 2.3.1.2

0을 더해 식을 간단히 합니다.

$y - 1 = 3 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{3})$

단계 2.3.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y - 1 = 3 \sqrt{3} x + 3 \sqrt{3} (- \frac{π}{3})$

단계 2.3.1.4

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.3.1.4.1

$- \frac{π}{3}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$y - 1 = 3 \sqrt{3} x + 3 \sqrt{3} \frac{- π}{3}$

단계 2.3.1.4.2

$3 \sqrt{3}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$y - 1 = 3 \sqrt{3} x + 3 (\sqrt{3}) \frac{- π}{3}$

단계 2.3.1.4.3

공약수로 약분합니다.

$y - 1 = 3 \sqrt{3} x + 3 \sqrt{3} \frac{- π}{3}$

단계 2.3.1.4.4

수식을 다시 씁니다.

$y - 1 = 3 \sqrt{3} x + \sqrt{3} (- π)$

단계 2.3.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$y = 3 \sqrt{3} x + \sqrt{3} (- π) + 1$

단계 2.3.3

$y = m x + b$ 형태로 씁니다.

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단계 2.3.3.1

괄호를 제거합니다.

$y = 3 \sqrt{3} x + \sqrt{3} \cdot - 1 π + 1$

단계 2.3.3.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.3.3.2.1

$\sqrt{3}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$y = 3 \sqrt{3} x - 1 \cdot \sqrt{3} π + 1$

단계 2.3.3.2.2

$- 1 \sqrt{3}$ 을 $- \sqrt{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = 3 \sqrt{3} x - \sqrt{3} π + 1$

단계 3