미적분 예제

f (x) = \sqrt{x} (x - 8)

$f (x) = \sqrt{x} (x - 8)$ ,

(16, 32)

$(16, 32)$

단계 1

1차 도함수를 구하고

$x = 16$ ,

$y = 32$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여

$\sqrt{x}$ 을(를)

$x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} (x - 8)]$

단계 1.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ ,

$g (x) = x - 8$ 일 때

$\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는

$f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 8] + (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

단계 1.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

합의 법칙에 의해

$x - 8$ 를

$x$ 에 대해 미분하면

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ 가 됩니다.

$x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]) + (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

단계 1.3.2

$n = 1$ 일 때

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는

$n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [- 8]) + (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

단계 1.3.3

$- 8$ 이

$x$ 에 대해 일정하므로,

$- 8$ 를

$x$ 에 대해 미분하면

$- 8$ 입니다.

$x^{\frac{1}{2}} (1 + 0) + (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

단계 1.3.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.4.1

$1$ 를

$0$ 에 더합니다.

$x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

단계 1.3.4.2

$x^{\frac{1}{2}}$ 에

$1$ 을 곱합니다.

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

단계 1.3.5

$n = \frac{1}{2}$ 일 때

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는

$n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

단계 1.4

공통 분모를 가지는 분수로

$- 1$ 을 표현하기 위해

$\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

단계 1.5

$- 1$ 와

$\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

단계 1.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

단계 1.7

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.1

$- 1$ 에

$2$ 을 곱합니다.

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

단계 1.7.2

$1$ 에서

$2$ 을 뺍니다.

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

단계 1.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

단계 1.9

$\frac{1}{2}$ 와

$x^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

단계 1.10

음의 지수 법칙

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여

$x^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.11

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.11.1

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{\frac{1}{2}} + x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.11.2

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.11.2.1

$x$ 와

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.11.2.2

음의 지수 법칙

$\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 을 활용하여

$x^{\frac{1}{2}}$ 를 분자로 이동합니다.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.11.2.3

지수를 더하여

$x$ 에

$x^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.11.2.3.1

$x$ 에

$x^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.11.2.3.1.1

$x$ 를

$1$ 승 합니다.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.11.2.3.1.2

지수 법칙

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.11.2.3.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.11.2.3.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.11.2.3.4

$2$ 에서

$1$ 을 뺍니다.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.11.2.4

$- 8$ 와

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 8}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.11.2.5

$- 8$ 에서

$2$ 를 인수분해합니다.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{2 \cdot - 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.11.2.6

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.11.2.6.1

$2 x^{\frac{1}{2}}$ 에서

$2$ 를 인수분해합니다.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{2 \cdot - 4}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

단계 1.11.2.6.2

공약수로 약분합니다.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{2 \cdot - 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.11.2.6.3

수식을 다시 씁니다.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 4}{x^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.11.2.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.11.2.8

공통 분모를 가지는 분수로

$x^{\frac{1}{2}}$ 을 표현하기 위해

$\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.11.2.9

$x^{\frac{1}{2}}$ 와

$\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.11.2.10

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.11.2.11

$x^{\frac{1}{2}}$ 의 왼쪽으로

$2$ 이동하기

$\frac{2 \cdot x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.11.2.12

$2 x^{\frac{1}{2}}$ 를

$x^{\frac{1}{2}}$ 에 더합니다.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.12

$x = 16$ 일 때 도함수의 값을 계산합니다.

$\frac{3 {(16)}^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.13

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.13.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.13.1.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.13.1.1.1

$16$ 을

$4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{3 \cdot {(4^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.13.1.1.2

멱의 법칙을 적용하여

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{3 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})}}{2} - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.13.1.1.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.13.1.1.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})}}{2} - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.13.1.1.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3 \cdot 4^{1}}{2} - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.13.1.1.4

지수값을 계산합니다.

$\frac{3 \cdot 4}{2} - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.13.1.2

$3$ 에

$4$ 을 곱합니다.

$\frac{12}{2} - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.13.1.3

$12$ 을

$2$ 로 나눕니다.

$6 - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.13.1.4

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.13.1.4.1

$16$ 을

$4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$6 - \frac{4}{{(4^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.13.1.4.2

멱의 법칙을 적용하여

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$6 - \frac{4}{4^{2 (\frac{1}{2})}}$

단계 1.13.1.4.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.13.1.4.3.1

공약수로 약분합니다.

$6 - \frac{4}{4^{2 (\frac{1}{2})}}$

단계 1.13.1.4.3.2

수식을 다시 씁니다.

$6 - \frac{4}{4^{1}}$

단계 1.13.1.4.4

지수값을 계산합니다.

$6 - \frac{4}{4}$

단계 1.13.1.5

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.13.1.5.1

공약수로 약분합니다.

$6 - \frac{4}{4}$

단계 1.13.1.5.2

수식을 다시 씁니다.

$6 - 1 \cdot 1$

단계 1.13.1.6

$- 1$ 에

$1$ 을 곱합니다.

$6 - 1$

단계 1.13.2

$6$ 에서

$1$ 을 뺍니다.

$5$

단계 2

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

기울기

$5$ 과 주어진 점

$(16, 32)$ 을 사용해 점-기울기 형태

$y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의

$x_{1}$ 및

$y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (32) = 5 \cdot (x - (16))$

단계 2.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y - 32 = 5 \cdot (x - 16)$

단계 2.3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$5 \cdot (x - 16)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

다시 씁니다.

$y - 32 = 0 + 0 + 5 \cdot (x - 16)$

단계 2.3.1.2

0을 더해 식을 간단히 합니다.

$y - 32 = 5 \cdot (x - 16)$

단계 2.3.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y - 32 = 5 x + 5 \cdot - 16$

단계 2.3.1.4

$5$ 에

$- 16$ 을 곱합니다.

$y - 32 = 5 x - 80$

단계 2.3.2

$y$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

방정식의 양변에

$32$ 를 더합니다.

$y = 5 x - 80 + 32$

단계 2.3.2.2

$- 80$ 를

$32$ 에 더합니다.

$y = 5 x - 48$

단계 3