미적분 예제

$f (x) = (1 - x) {(x^{2} - 2)}^{2}$ ; $(2, - 4)$

단계 1

1차 도함수를 구하고 $x = 2$ , $y = - 4$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

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단계 1.1

$f (x) = 1 - x$ , $g (x) = {(x^{2} - 2)}^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(1 - x) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2)}^{2}] + {(x^{2} - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

단계 1.2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = x^{2} - 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} - 2$ 로 바꿉니다.

$(1 - x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]) + {(x^{2} - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

단계 1.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(1 - x) (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]) + {(x^{2} - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

단계 1.2.3

$u$ 를 모두 $x^{2} - 2$ 로 바꿉니다.

$(1 - x) (2 (x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]) + {(x^{2} - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

단계 1.3

미분합니다.

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단계 1.3.1

$1 - x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 \cdot (1 - x) (x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2] + {(x^{2} - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

단계 1.3.2

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 가 됩니다.

$2 (1 - x) (x^{2} - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]) + {(x^{2} - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

단계 1.3.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (1 - x) (x^{2} - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2]) + {(x^{2} - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

단계 1.3.4

$- 2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 2$ 입니다.

$2 (1 - x) (x^{2} - 2) (2 x + 0) + {(x^{2} - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

단계 1.3.5

식을 간단히 합니다.

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단계 1.3.5.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 (1 - x) (x^{2} - 2) (2 x) + {(x^{2} - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

단계 1.3.5.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 (1 - x) (x^{2} - 2) x + {(x^{2} - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

단계 1.3.6

합의 법칙에 의해 $1 - x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ 가 됩니다.

$4 (1 - x) (x^{2} - 2) x + {(x^{2} - 2)}^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])$

단계 1.3.7

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$4 (1 - x) (x^{2} - 2) x + {(x^{2} - 2)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

단계 1.3.8

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- x]$ 에 더합니다.

$4 (1 - x) (x^{2} - 2) x + {(x^{2} - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [- x]$

단계 1.3.9

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$4 (1 - x) (x^{2} - 2) x + {(x^{2} - 2)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.3.10

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (1 - x) (x^{2} - 2) x + {(x^{2} - 2)}^{2} (- 1 \cdot 1)$

단계 1.3.11

식을 간단히 합니다.

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단계 1.3.11.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 (1 - x) (x^{2} - 2) x + {(x^{2} - 2)}^{2} \cdot - 1$

단계 1.3.11.2

${(x^{2} - 2)}^{2}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$4 (1 - x) (x^{2} - 2) x - 1 \cdot {(x^{2} - 2)}^{2}$

단계 1.3.11.3

$- 1 {(x^{2} - 2)}^{2}$ 을 $- {(x^{2} - 2)}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$4 (1 - x) (x^{2} - 2) x - {(x^{2} - 2)}^{2}$

단계 1.4

간단히 합니다.

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단계 1.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(4 \cdot 1 + 4 (- x)) (x^{2} - 2) x - {(x^{2} - 2)}^{2}$

단계 1.4.2

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(4 + 4 (- x)) (x^{2} - 2) x - {(x^{2} - 2)}^{2}$

단계 1.4.3

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$(4 - 4 x) (x^{2} - 2) x - {(x^{2} - 2)}^{2}$

단계 1.4.4

$(4 - 4 x) (x^{2} - 2) x - {(x^{2} - 2)}^{2}$ 에서 $x^{2} - 2$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.4.4.1

$(4 - 4 x) (x^{2} - 2) x$ 에서 $x^{2} - 2$ 를 인수분해합니다.

$(x^{2} - 2) ((4 - 4 x) x) - {(x^{2} - 2)}^{2}$

단계 1.4.4.2

$- {(x^{2} - 2)}^{2}$ 에서 $x^{2} - 2$ 를 인수분해합니다.

$(x^{2} - 2) ((4 - 4 x) x) + (x^{2} - 2) (- (x^{2} - 2))$

단계 1.4.4.3

$(x^{2} - 2) ((4 - 4 x) x) + (x^{2} - 2) (- (x^{2} - 2))$ 에서 $x^{2} - 2$ 를 인수분해합니다.

$(x^{2} - 2) ((4 - 4 x) x - (x^{2} - 2))$

단계 1.4.5

$(x^{2} - 2) ((4 - 4 x) x - (x^{2} - 2))$ 인수를 다시 정렬합니다.

$((4 - 4 x) x - (x^{2} - 2)) (x^{2} - 2)$

단계 1.4.6

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.4.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(4 x - 4 x \cdot x - (x^{2} - 2)) (x^{2} - 2)$

단계 1.4.6.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 1.4.6.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$(4 x - 4 (x \cdot x) - (x^{2} - 2)) (x^{2} - 2)$

단계 1.4.6.2.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$(4 x - 4 x^{2} - (x^{2} - 2)) (x^{2} - 2)$

단계 1.4.6.3

분배 법칙을 적용합니다.

$(4 x - 4 x^{2} - x^{2} - - 2) (x^{2} - 2)$

단계 1.4.6.4

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$(4 x - 4 x^{2} - x^{2} + 2) (x^{2} - 2)$

단계 1.4.7

$- 4 x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 을 뺍니다.

$(4 x - 5 x^{2} + 2) (x^{2} - 2)$

단계 1.4.8

첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 $(4 x - 5 x^{2} + 2) (x^{2} - 2)$ 를 전개합니다.

$4 x \cdot x^{2} + 4 x \cdot - 2 - 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} \cdot - 2 + 2 x^{2} + 2 \cdot - 2$

단계 1.4.9

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.4.9.1

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 1.4.9.1.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$4 (x^{2} x) + 4 x \cdot - 2 - 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} \cdot - 2 + 2 x^{2} + 2 \cdot - 2$

단계 1.4.9.1.2

$x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 1.4.9.1.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$4 (x^{2} x^{1}) + 4 x \cdot - 2 - 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} \cdot - 2 + 2 x^{2} + 2 \cdot - 2$

단계 1.4.9.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$4 x^{2 + 1} + 4 x \cdot - 2 - 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} \cdot - 2 + 2 x^{2} + 2 \cdot - 2$

단계 1.4.9.1.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$4 x^{3} + 4 x \cdot - 2 - 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} \cdot - 2 + 2 x^{2} + 2 \cdot - 2$

단계 1.4.9.2

$- 2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$4 x^{3} - 8 x - 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} \cdot - 2 + 2 x^{2} + 2 \cdot - 2$

단계 1.4.9.3

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 1.4.9.3.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$4 x^{3} - 8 x - 5 (x^{2} x^{2}) - 5 x^{2} \cdot - 2 + 2 x^{2} + 2 \cdot - 2$

단계 1.4.9.3.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$4 x^{3} - 8 x - 5 x^{2 + 2} - 5 x^{2} \cdot - 2 + 2 x^{2} + 2 \cdot - 2$

단계 1.4.9.3.3

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$4 x^{3} - 8 x - 5 x^{4} - 5 x^{2} \cdot - 2 + 2 x^{2} + 2 \cdot - 2$

단계 1.4.9.4

$- 2$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$4 x^{3} - 8 x - 5 x^{4} + 10 x^{2} + 2 x^{2} + 2 \cdot - 2$

단계 1.4.9.5

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$4 x^{3} - 8 x - 5 x^{4} + 10 x^{2} + 2 x^{2} - 4$

단계 1.4.10

$10 x^{2}$ 를 $2 x^{2}$ 에 더합니다.

$4 x^{3} - 8 x - 5 x^{4} + 12 x^{2} - 4$

단계 1.5

$x = 2$ 일 때 도함수의 값을 계산합니다.

$4 {(2)}^{3} - 8 \cdot 2 - 5 {(2)}^{4} + 12 {(2)}^{2} - 4$

단계 1.6

간단히 합니다.

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단계 1.6.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.6.1.1

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$4 \cdot 8 - 8 \cdot 2 - 5 {(2)}^{4} + 12 {(2)}^{2} - 4$

단계 1.6.1.2

$4$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$32 - 8 \cdot 2 - 5 {(2)}^{4} + 12 {(2)}^{2} - 4$

단계 1.6.1.3

$- 8$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$32 - 16 - 5 {(2)}^{4} + 12 {(2)}^{2} - 4$

단계 1.6.1.4

$2$ 를 $4$ 승 합니다.

$32 - 16 - 5 \cdot 16 + 12 {(2)}^{2} - 4$

단계 1.6.1.5

$- 5$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$32 - 16 - 80 + 12 {(2)}^{2} - 4$

단계 1.6.1.6

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$32 - 16 - 80 + 12 \cdot 4 - 4$

단계 1.6.1.7

$12$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$32 - 16 - 80 + 48 - 4$

단계 1.6.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

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단계 1.6.2.1

$32$ 에서 $16$ 을 뺍니다.

$16 - 80 + 48 - 4$

단계 1.6.2.2

$16$ 에서 $80$ 을 뺍니다.

$- 64 + 48 - 4$

단계 1.6.2.3

$- 64$ 를 $48$ 에 더합니다.

$- 16 - 4$

단계 1.6.2.4

$- 16$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$- 20$

단계 2

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

기울기 $- 20$ 과 주어진 점 $(2, - 4)$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (- 4) = - 20 \cdot (x - (2))$

단계 2.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y + 4 = - 20 \cdot (x - 2)$

단계 2.3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.3.1

$- 20 \cdot (x - 2)$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1.1

다시 씁니다.

$y + 4 = 0 + 0 - 20 \cdot (x - 2)$

단계 2.3.1.2

0을 더해 식을 간단히 합니다.

$y + 4 = - 20 \cdot (x - 2)$

단계 2.3.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y + 4 = - 20 x - 20 \cdot - 2$

단계 2.3.1.4

$- 20$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$y + 4 = - 20 x + 40$

단계 2.3.2

$y$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

방정식의 양변에서 $4$ 를 뺍니다.

$y = - 20 x + 40 - 4$

단계 2.3.2.2

$40$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$y = - 20 x + 36$

단계 3