미적분 예제

$y = 4 \sin (x) \cos (x)$ ; $x = \frac{π}{4}$

단계 1

$x = \frac{π}{4}$ 에 상당하는 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$x$ 에 $\frac{π}{4}$ 를 대입합니다.

$y = 4 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4})$

단계 1.2

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

괄호를 제거합니다.

$y = 4 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4})$

단계 1.2.2

$4 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1

$\sin (\frac{π}{4})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 입니다.

$y = 4 \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{4})$

단계 1.2.2.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = 2 (2) \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{4})$

단계 1.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$y = 2 \cdot 2 \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{4})$

단계 1.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y = 2 \sqrt{2} \cos (\frac{π}{4})$

단계 1.2.2.3

$\cos (\frac{π}{4})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 입니다.

$y = 2 \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}$

단계 1.2.2.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.4.1

$2 \sqrt{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = 2 (\sqrt{2}) \frac{\sqrt{2}}{2}$

단계 1.2.2.4.2

공약수로 약분합니다.

$y = 2 \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}$

단계 1.2.2.4.3

수식을 다시 씁니다.

$y = \sqrt{2} \sqrt{2}$

단계 1.2.2.5

$\sqrt{2}$ 를 $1$ 승 합니다.

$y = {\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}$

단계 1.2.2.6

$\sqrt{2}$ 를 $1$ 승 합니다.

$y = {\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}$

단계 1.2.2.7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y = {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

단계 1.2.2.8

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$y = {\sqrt{2}}^{2}$

단계 1.2.2.9

${\sqrt{2}}^{2}$ 을 $2$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.9.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2}$ 을(를) $2^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$y = {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

단계 1.2.2.9.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y = 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

단계 1.2.2.9.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$y = 2^{\frac{2}{2}}$

단계 1.2.2.9.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.9.4.1

공약수로 약분합니다.

$y = 2^{\frac{2}{2}}$

단계 1.2.2.9.4.2

수식을 다시 씁니다.

$y = 2^{1}$

단계 1.2.2.9.5

지수값을 계산합니다.

$y = 2$

단계 2

1차 도함수를 구하고 $x = \frac{π}{4}$ , $y = 2$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 \sin (x) \cos (x)$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

단계 2.2

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = \cos (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

단계 2.3

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$4 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

단계 2.4

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$4 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

단계 2.5

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$4 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

단계 2.6

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$4 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

단계 2.7

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

단계 2.8

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

단계 2.9

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))$

단계 2.10

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

단계 2.11

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$4 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

단계 2.12

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

단계 2.13

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.13.1

분배 법칙을 적용합니다.

$4 (- \sin^{2} (x)) + 4 \cos^{2} (x)$

단계 2.13.2

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- 4 \sin^{2} (x) + 4 \cos^{2} (x)$

단계 2.13.3

$4 \cos^{2} (x)$ 을 ${(2 \cos (x))}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- 4 \sin^{2} (x) + {(2 \cos (x))}^{2}$

단계 2.13.4

$4 \sin^{2} (x)$ 을 ${(2 \sin (x))}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- {(2 \sin (x))}^{2} + {(2 \cos (x))}^{2}$

단계 2.13.5

$- {(2 \sin (x))}^{2}$ 와 ${(2 \cos (x))}^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

${(2 \cos (x))}^{2} - {(2 \sin (x))}^{2}$

단계 2.13.6

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 2 \cos (x)$ 이고 $b = 2 \sin (x)$ 입니다.

$(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) - (2 \sin (x)))$

단계 2.13.7

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$

단계 2.13.8

FOIL 계산법을 이용하여 $(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.13.8.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2 \cos (x) (2 \cos (x) - 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$

단계 2.13.8.2

분배 법칙을 적용합니다.

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$

단계 2.13.8.3

분배 법칙을 적용합니다.

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

단계 2.13.9

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.13.9.1

인수가 항 $2 \cos (x) (- 2 \sin (x))$ 과(와) $2 \sin (x) (2 \cos (x))$ (으)로 표현되도록 다시 정렬합니다.

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) - 2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

단계 2.13.9.2

$- 2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x)$ 를 $2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x)$ 에 더합니다.

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 0 + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

단계 2.13.9.3

$2 \cos (x) (2 \cos (x))$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

단계 2.13.10

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.13.10.1

$2 \cos (x) (2 \cos (x))$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.13.10.1.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 \cos (x) \cos (x) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

단계 2.13.10.1.2

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$4 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

단계 2.13.10.1.3

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$4 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

단계 2.13.10.1.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$4 {\cos (x)}^{1 + 1} + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

단계 2.13.10.1.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

단계 2.13.10.2

$2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.13.10.2.1

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 \cos^{2} (x) - 4 \sin (x) \sin (x)$

단계 2.13.10.2.2

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$4 \cos^{2} (x) - 4 (\sin^{1} (x) \sin (x))$

단계 2.13.10.2.3

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$4 \cos^{2} (x) - 4 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

단계 2.13.10.2.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$4 \cos^{2} (x) - 4 {\sin (x)}^{1 + 1}$

단계 2.13.10.2.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$4 \cos^{2} (x) - 4 \sin^{2} (x)$

단계 2.14

$x = \frac{π}{4}$ 일 때 도함수의 값을 계산합니다.

$4 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 4 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

단계 2.15

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.15.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.15.1.1

$\cos (\frac{π}{4})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 입니다.

$4 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - 4 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

단계 2.15.1.2

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$4 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} - 4 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

단계 2.15.1.3

${\sqrt{2}}^{2}$ 을 $2$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.15.1.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2}$ 을(를) $2^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$4 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - 4 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

단계 2.15.1.3.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$4 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - 4 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

단계 2.15.1.3.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$4 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 4 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

단계 2.15.1.3.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.15.1.3.4.1

공약수로 약분합니다.

$4 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 4 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

단계 2.15.1.3.4.2

수식을 다시 씁니다.

$4 \frac{2^{1}}{2^{2}} - 4 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

단계 2.15.1.3.5

지수값을 계산합니다.

$4 \frac{2}{2^{2}} - 4 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

단계 2.15.1.4

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$4 (\frac{2}{4}) - 4 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

단계 2.15.1.5

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.15.1.5.1

공약수로 약분합니다.

$4 (\frac{2}{4}) - 4 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

단계 2.15.1.5.2

수식을 다시 씁니다.

$2 - 4 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

단계 2.15.1.6

$\sin (\frac{π}{4})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 입니다.

$2 - 4 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

단계 2.15.1.7

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$2 - 4 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$

단계 2.15.1.8

${\sqrt{2}}^{2}$ 을 $2$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.15.1.8.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2}$ 을(를) $2^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$2 - 4 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

단계 2.15.1.8.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$2 - 4 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

단계 2.15.1.8.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$2 - 4 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

단계 2.15.1.8.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.15.1.8.4.1

공약수로 약분합니다.

$2 - 4 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

단계 2.15.1.8.4.2

수식을 다시 씁니다.

$2 - 4 \frac{2^{1}}{2^{2}}$

단계 2.15.1.8.5

지수값을 계산합니다.

$2 - 4 \frac{2}{2^{2}}$

단계 2.15.1.9

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$2 - 4 (\frac{2}{4})$

단계 2.15.1.10

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.15.1.10.1

$- 4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$2 + 4 (- 1) \frac{2}{4}$

단계 2.15.1.10.2

공약수로 약분합니다.

$2 + 4 \cdot - 1 \frac{2}{4}$

단계 2.15.1.10.3

수식을 다시 씁니다.

$2 - 1 \cdot 2$

단계 2.15.1.11

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$2 - 2$

단계 2.15.2

$2$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$0$

단계 3

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

기울기 $0$ 과 주어진 점 $(\frac{π}{4}, 2)$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (2) = 0 \cdot (x - (\frac{π}{4}))$

단계 3.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y - 2 = 0 \cdot (x - \frac{π}{4})$

단계 3.3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$0$ 에 $x - \frac{π}{4}$ 을 곱합니다.

$y - 2 = 0$

단계 3.3.2

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$y = 2$

단계 4