미적분 예제

$y = \sqrt[5]{2 x^{3} + 8 x}$ , $(2, 2)$

단계 1

1차 도함수를 구하고 $x = 2$ , $y = 2$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

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단계 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[5]{2 x^{3} + 8 x}$ 을(를) ${(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{5}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [{(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{5}}]$

단계 1.2

$f (x) = x^{\frac{1}{5}}$ , $g (x) = 2 x^{3} + 8 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 x^{3} + 8 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{5}}] \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

단계 1.2.2

$n = \frac{1}{5}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{5} u^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

단계 1.2.3

$u$ 를 모두 $2 x^{3} + 8 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{5} {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

단계 1.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{5} {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

단계 1.4

$- 1$ 와 $\frac{5}{5}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{5} {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

단계 1.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{5} {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

단계 1.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.6.1

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{5} {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{1 - 5}{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

단계 1.6.2

$1$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{5} {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{- 4}{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

단계 1.7

분수를 통분합니다.

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단계 1.7.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{5} {(2 x^{3} + 8 x)}^{- \frac{4}{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

단계 1.7.2

$\frac{1}{5}$ 와 ${(2 x^{3} + 8 x)}^{- \frac{4}{5}}$ 을 묶습니다.

$\frac{{(2 x^{3} + 8 x)}^{- \frac{4}{5}}}{5} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

단계 1.7.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(2 x^{3} + 8 x)}^{- \frac{4}{5}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

단계 1.8

합의 법칙에 의해 $2 x^{3} + 8 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}} (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x])$

단계 1.9

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{3}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$\frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}} (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x])$

단계 1.10

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}} (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [8 x])$

단계 1.11

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}} (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [8 x])$

단계 1.12

$8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $8 x$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}} (6 x^{2} + 8 \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.13

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}} (6 x^{2} + 8 \cdot 1)$

단계 1.14

$8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}} (6 x^{2} + 8)$

단계 1.15

간단히 합니다.

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단계 1.15.1

$\frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}} (6 x^{2} + 8)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$(6 x^{2} + 8) \frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}}$

단계 1.15.2

$6 x^{2} + 8$ 에 $\frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{6 x^{2} + 8}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}}$

단계 1.15.3

$6 x^{2} + 8$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.15.3.1

$6 x^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (3 x^{2}) + 8}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}}$

단계 1.15.3.2

$8$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (3 x^{2}) + 2 (4)}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}}$

단계 1.15.3.3

$2 (3 x^{2}) + 2 (4)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (3 x^{2} + 4)}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}}$

단계 1.16

$x = 2$ 일 때 도함수의 값을 계산합니다.

$\frac{2 (3 {(2)}^{2} + 4)}{5 {(2 {(2)}^{3} + 8 (2))}^{\frac{4}{5}}}$

단계 1.17

간단히 합니다.

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단계 1.17.1

지수를 더하여 $2$ 에 ${(2)}^{3}$ 을 곱합니다.

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단계 1.17.1.1

$2$ 에 ${(2)}^{3}$ 을 곱합니다.

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단계 1.17.1.1.1

$2$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 (3 {(2)}^{2} + 4)}{5 {(2^{1} {(2)}^{3} + 8 (2))}^{\frac{4}{5}}}$

단계 1.17.1.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 (3 {(2)}^{2} + 4)}{5 {(2^{1 + 3} + 8 (2))}^{\frac{4}{5}}}$

단계 1.17.1.2

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\frac{2 (3 {(2)}^{2} + 4)}{5 {(2^{4} + 8 (2))}^{\frac{4}{5}}}$

단계 1.17.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.17.2.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{2 (3 \cdot 4 + 4)}{5 {(2^{4} + 8 (2))}^{\frac{4}{5}}}$

단계 1.17.2.2

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (12 + 4)}{5 {(2^{4} + 8 (2))}^{\frac{4}{5}}}$

단계 1.17.2.3

$12$ 를 $4$ 에 더합니다.

$\frac{2 \cdot 16}{5 {(2^{4} + 8 (2))}^{\frac{4}{5}}}$

단계 1.17.3

분모를 간단히 합니다.

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단계 1.17.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.17.3.1.1

$2$ 를 $4$ 승 합니다.

$\frac{2 \cdot 16}{5 {(16 + 8 (2))}^{\frac{4}{5}}}$

단계 1.17.3.1.2

$8$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{2 \cdot 16}{5 {(16 + 16)}^{\frac{4}{5}}}$

단계 1.17.3.2

$16$ 를 $16$ 에 더합니다.

$\frac{2 \cdot 16}{5 \cdot 32^{\frac{4}{5}}}$

단계 1.17.3.3

$32$ 을 $2^{5}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 \cdot 16}{5 \cdot {(2^{5})}^{\frac{4}{5}}}$

단계 1.17.3.4

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{2 \cdot 16}{5 \cdot 2^{5 (\frac{4}{5})}}$

단계 1.17.3.5

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.17.3.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot 16}{5 \cdot 2^{5 (\frac{4}{5})}}$

단계 1.17.3.5.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2 \cdot 16}{5 \cdot 2^{4}}$

단계 1.17.3.6

$2$ 를 $4$ 승 합니다.

$\frac{2 \cdot 16}{5 \cdot 16}$

단계 1.17.4

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

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단계 1.17.4.1

$2$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$\frac{32}{5 \cdot 16}$

단계 1.17.4.2

$5$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$\frac{32}{80}$

단계 1.17.4.3

$32$ 및 $80$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.17.4.3.1

$32$ 에서 $16$ 를 인수분해합니다.

$\frac{16 (2)}{80}$

단계 1.17.4.3.2

공약수로 약분합니다.

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단계 1.17.4.3.2.1

$80$ 에서 $16$ 를 인수분해합니다.

$\frac{16 \cdot 2}{16 \cdot 5}$

단계 1.17.4.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{16 \cdot 2}{16 \cdot 5}$

단계 1.17.4.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2}{5}$

단계 2

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

기울기 $\frac{2}{5}$ 과 주어진 점 $(2, 2)$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (2) = \frac{2}{5} \cdot (x - (2))$

단계 2.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y - 2 = \frac{2}{5} \cdot (x - 2)$

단계 2.3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.3.1

$\frac{2}{5} \cdot (x - 2)$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1.1

다시 씁니다.

$y - 2 = 0 + 0 + \frac{2}{5} \cdot (x - 2)$

단계 2.3.1.2

0을 더해 식을 간단히 합니다.

$y - 2 = \frac{2}{5} \cdot (x - 2)$

단계 2.3.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y - 2 = \frac{2}{5} x + \frac{2}{5} \cdot - 2$

단계 2.3.1.4

$\frac{2}{5}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$y - 2 = \frac{2 x}{5} + \frac{2}{5} \cdot - 2$

단계 2.3.1.5

$\frac{2}{5} \cdot - 2$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.5.1

$\frac{2}{5}$ 와 $- 2$ 을 묶습니다.

$y - 2 = \frac{2 x}{5} + \frac{2 \cdot - 2}{5}$

단계 2.3.1.5.2

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$y - 2 = \frac{2 x}{5} + \frac{- 4}{5}$

단계 2.3.1.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y - 2 = \frac{2 x}{5} - \frac{4}{5}$

단계 2.3.2

$y$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 2.3.2.1

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$y = \frac{2 x}{5} - \frac{4}{5} + 2$

단계 2.3.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $2$ 을 표현하기 위해 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{2 x}{5} - \frac{4}{5} + 2 \cdot \frac{5}{5}$

단계 2.3.2.3

$2$ 와 $\frac{5}{5}$ 을 묶습니다.

$y = \frac{2 x}{5} - \frac{4}{5} + \frac{2 \cdot 5}{5}$

단계 2.3.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{2 x}{5} + \frac{- 4 + 2 \cdot 5}{5}$

단계 2.3.2.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.3.2.5.1

$2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$y = \frac{2 x}{5} + \frac{- 4 + 10}{5}$

단계 2.3.2.5.2

$- 4$ 를 $10$ 에 더합니다.

$y = \frac{2 x}{5} + \frac{6}{5}$

단계 2.3.3

항을 다시 정렬합니다.

$y = \frac{2}{5} x + \frac{6}{5}$

단계 3