미적분 예제

$f (x) = \frac{x^{7}}{7} - \frac{7}{x^{7}}$ at $x = - 1$

단계 1

$x = - 1$ 에 상당하는 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$x$ 에 $- 1$ 를 대입합니다.

$y = \frac{{(- 1)}^{7}}{7} - \frac{7}{{(- 1)}^{7}}$

단계 1.2

$\frac{{(- 1)}^{7}}{7} - \frac{7}{{(- 1)}^{7}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.2.1.1

$- 1$ 를 $7$ 승 합니다.

$y = \frac{- 1}{7} - \frac{7}{{(- 1)}^{7}}$

단계 1.2.1.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y = - \frac{1}{7} - \frac{7}{{(- 1)}^{7}}$

단계 1.2.1.3

$- 1$ 를 $7$ 승 합니다.

$y = - \frac{1}{7} - \frac{7}{- 1}$

단계 1.2.1.4

$7$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$y = - \frac{1}{7} - - 7$

단계 1.2.1.5

$- 1$ 에 $- 7$ 을 곱합니다.

$y = - \frac{1}{7} + 7$

단계 1.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $7$ 을 표현하기 위해 $\frac{7}{7}$ 을 곱합니다.

$y = - \frac{1}{7} + 7 \cdot \frac{7}{7}$

단계 1.2.3

$7$ 와 $\frac{7}{7}$ 을 묶습니다.

$y = - \frac{1}{7} + \frac{7 \cdot 7}{7}$

단계 1.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{- 1 + 7 \cdot 7}{7}$

단계 1.2.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.2.5.1

$7$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 1 + 49}{7}$

단계 1.2.5.2

$- 1$ 를 $49$ 에 더합니다.

$y = \frac{48}{7}$

단계 2

1차 도함수를 구하고 $x = - 1$ , $y = \frac{48}{7}$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $\frac{x^{7}}{7} - \frac{7}{x^{7}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{7}] + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{7}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{7}] + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{7}}]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{7}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$\frac{1}{7}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x^{7}}{7}$ 의 미분은 $\frac{1}{7} \frac{d}{d x} [x^{7}]$ 입니다.

$\frac{1}{7} \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{7}}]$

단계 2.2.2

$n = 7$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{7} (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{7}}]$

단계 2.2.3

$7$ 와 $\frac{1}{7}$ 을 묶습니다.

$\frac{7}{7} x^{6} + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{7}}]$

단계 2.2.4

$\frac{7}{7}$ 와 $x^{6}$ 을 묶습니다.

$\frac{7 x^{6}}{7} + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{7}}]$

단계 2.2.5

$7$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.2.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{7 x^{6}}{7} + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{7}}]$

단계 2.2.5.2

$x^{6}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{6} + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{7}}]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{7}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$- 7$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{7}{x^{7}}$ 의 미분은 $- 7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{7}}]$ 입니다.

$x^{6} - 7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{7}}]$

단계 2.3.2

$\frac{1}{x^{7}}$ 을 ${(x^{7})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$x^{6} - 7 \frac{d}{d x} [{(x^{7})}^{- 1}]$

단계 2.3.3

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{7}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{7}$ 로 바꿉니다.

$x^{6} - 7 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{7}])$

단계 2.3.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{6} - 7 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{7}])$

단계 2.3.3.3

$u$ 를 모두 $x^{7}$ 로 바꿉니다.

$x^{6} - 7 (- {(x^{7})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{7}])$

단계 2.3.4

$n = 7$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{6} - 7 (- {(x^{7})}^{- 2} (7 x^{6}))$

단계 2.3.5

${(x^{7})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.3.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$x^{6} - 7 (- x^{7 \cdot - 2} (7 x^{6}))$

단계 2.3.5.2

$7$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$x^{6} - 7 (- x^{- 14} (7 x^{6}))$

단계 2.3.6

$7$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x^{6} - 7 (- 7 x^{- 14} x^{6})$

단계 2.3.7

지수를 더하여 $x^{- 14}$ 에 $x^{6}$ 을 곱합니다.

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단계 2.3.7.1

$x^{6}$ 를 옮깁니다.

$x^{6} - 7 (- 7 (x^{6} x^{- 14}))$

단계 2.3.7.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$x^{6} - 7 (- 7 x^{6 - 14})$

단계 2.3.7.3

$6$ 에서 $14$ 을 뺍니다.

$x^{6} - 7 (- 7 x^{- 8})$

단계 2.3.8

$- 7$ 에 $- 7$ 을 곱합니다.

$x^{6} + 49 x^{- 8}$

단계 2.4

간단히 합니다.

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단계 2.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$x^{6} + 49 \frac{1}{x^{8}}$

단계 2.4.2

$49$ 와 $\frac{1}{x^{8}}$ 을 묶습니다.

$x^{6} + \frac{49}{x^{8}}$

단계 2.5

$x = - 1$ 일 때 도함수의 값을 계산합니다.

${(- 1)}^{6} + \frac{49}{{(- 1)}^{8}}$

단계 2.6

간단히 합니다.

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단계 2.6.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.6.1.1

$- 1$ 를 $6$ 승 합니다.

$1 + \frac{49}{{(- 1)}^{8}}$

단계 2.6.1.2

$- 1$ 를 $8$ 승 합니다.

$1 + \frac{49}{1}$

단계 2.6.1.3

$49$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$1 + 49$

단계 2.6.2

$1$ 를 $49$ 에 더합니다.

$50$

단계 3

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.1

기울기 $50$ 과 주어진 점 $(- 1, \frac{48}{7})$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (\frac{48}{7}) = 50 \cdot (x - (- 1))$

단계 3.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y - \frac{48}{7} = 50 \cdot (x + 1)$

단계 3.3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.3.1

$50 \cdot (x + 1)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1

다시 씁니다.

$y - \frac{48}{7} = 0 + 0 + 50 \cdot (x + 1)$

단계 3.3.1.2

0을 더해 식을 간단히 합니다.

$y - \frac{48}{7} = 50 \cdot (x + 1)$

단계 3.3.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y - \frac{48}{7} = 50 x + 50 \cdot 1$

단계 3.3.1.4

$50$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y - \frac{48}{7} = 50 x + 50$

단계 3.3.2

$y$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 3.3.2.1

방정식의 양변에 $\frac{48}{7}$ 를 더합니다.

$y = 50 x + 50 + \frac{48}{7}$

단계 3.3.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $50$ 을 표현하기 위해 $\frac{7}{7}$ 을 곱합니다.

$y = 50 x + 50 \cdot \frac{7}{7} + \frac{48}{7}$

단계 3.3.2.3

$50$ 와 $\frac{7}{7}$ 을 묶습니다.

$y = 50 x + \frac{50 \cdot 7}{7} + \frac{48}{7}$

단계 3.3.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = 50 x + \frac{50 \cdot 7 + 48}{7}$

단계 3.3.2.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.5.1

$50$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$y = 50 x + \frac{350 + 48}{7}$

단계 3.3.2.5.2

$350$ 를 $48$ 에 더합니다.

$y = 50 x + \frac{398}{7}$

단계 4