미적분 예제

$y = x^{3} - 3 x + 2$ , $(3, 20)$

단계 1

1차 도함수를 구하고 $x = 3$ , $y = 20$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

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단계 1.1

미분합니다.

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단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $x^{3} - 3 x + 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

단계 1.1.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.2.1

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 x$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

단계 1.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 x^{2} - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

단계 1.2.3

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 x^{2} - 3 + \frac{d}{d x} [2]$

단계 1.3

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.3.1

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$3 x^{2} - 3 + 0$

단계 1.3.2

$3 x^{2} - 3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3 x^{2} - 3$

단계 1.4

$x = 3$ 일 때 도함수의 값을 계산합니다.

$3 {(3)}^{2} - 3$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.5.1.1

지수를 더하여 $3$ 에 ${(3)}^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 1.5.1.1.1

$3$ 에 ${(3)}^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 1.5.1.1.1.1

$3$ 를 $1$ 승 합니다.

$3^{1} {(3)}^{2} - 3$

단계 1.5.1.1.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$3^{1 + 2} - 3$

단계 1.5.1.1.2

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$3^{3} - 3$

단계 1.5.1.2

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$27 - 3$

단계 1.5.2

$27$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$24$

단계 2

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

기울기 $24$ 과 주어진 점 $(3, 20)$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (20) = 24 \cdot (x - (3))$

단계 2.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y - 20 = 24 \cdot (x - 3)$

단계 2.3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.3.1

$24 \cdot (x - 3)$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1.1

다시 씁니다.

$y - 20 = 0 + 0 + 24 \cdot (x - 3)$

단계 2.3.1.2

0을 더해 식을 간단히 합니다.

$y - 20 = 24 \cdot (x - 3)$

단계 2.3.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y - 20 = 24 x + 24 \cdot - 3$

단계 2.3.1.4

$24$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$y - 20 = 24 x - 72$

단계 2.3.2

$y$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 2.3.2.1

방정식의 양변에 $20$ 를 더합니다.

$y = 24 x - 72 + 20$

단계 2.3.2.2

$- 72$ 를 $20$ 에 더합니다.

$y = 24 x - 52$

단계 3