미적분 예제

$f (x) = {(\frac{x + 3}{x - 1})}^{2}$ ; $(5, 4)$

단계 1

1차 도함수를 구하고 $x = 5$ , $y = 4$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \frac{x + 3}{x - 1}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{x + 3}{x - 1}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\frac{x + 3}{x - 1}]$

단계 1.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 u \frac{d}{d x} [\frac{x + 3}{x - 1}]$

단계 1.1.3

$u$ 를 모두 $\frac{x + 3}{x - 1}$ 로 바꿉니다.

$2 \frac{x + 3}{x - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 3}{x - 1}]$

단계 1.2

$2$ 와 $\frac{x + 3}{x - 1}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 3}{x - 1}]$

단계 1.3

$f (x) = x + 3$ , $g (x) = x - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.4

미분합니다.

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단계 1.4.1

합의 법칙에 의해 $x + 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ 가 됩니다.

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.4.3

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (1 + 0) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.4.4

식을 간단히 합니다.

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단계 1.4.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.4.4.2

$x - 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.4.5

합의 법칙에 의해 $x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.4.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.4.7

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 3) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.4.8

분수를 통분합니다.

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단계 1.4.8.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 3) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.4.8.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 3)}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.4.8.3

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1}$ 에 $\frac{x - 1 - (x + 3)}{{(x - 1)}^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (x + 3) (x - 1 - (x + 3))}{(x - 1) {(x - 1)}^{2}}$

단계 1.5

지수를 더하여 $x - 1$ 에 ${(x - 1)}^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 1.5.1

$x - 1$ 에 ${(x - 1)}^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 1.5.1.1

$x - 1$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 (x + 3) (x - 1 - (x + 3))}{{(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{2}}$

단계 1.5.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 (x + 3) (x - 1 - (x + 3))}{{(x - 1)}^{1 + 2}}$

단계 1.5.2

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{2 (x + 3) (x - 1 - (x + 3))}{{(x - 1)}^{3}}$

단계 1.6

간단히 합니다.

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단계 1.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 3) (x - 1 - (x + 3))}{{(x - 1)}^{3}}$

단계 1.6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 3) (x - 1 - x - 1 \cdot 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

단계 1.6.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.6.3.1

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{(2 x + 6) (x - 1 - x - 1 \cdot 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

단계 1.6.3.2

$x - 1 - x - 1 \cdot 3$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 1.6.3.2.1

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$\frac{(2 x + 6) (0 - 1 - 1 \cdot 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

단계 1.6.3.2.2

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{(2 x + 6) (- 1 - 1 \cdot 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

단계 1.6.3.3

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{(2 x + 6) (- 1 - 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

단계 1.6.3.4

$- 1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{(2 x + 6) \cdot - 4}{{(x - 1)}^{3}}$

단계 1.6.3.5

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x \cdot - 4 + 6 \cdot - 4}{{(x - 1)}^{3}}$

단계 1.6.3.6

$- 4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{- 8 x + 6 \cdot - 4}{{(x - 1)}^{3}}$

단계 1.6.3.7

$6$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$\frac{- 8 x - 24}{{(x - 1)}^{3}}$

단계 1.6.4

$- 8 x - 24$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.6.4.1

$- 8 x$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

$\frac{8 (- x) - 24}{{(x - 1)}^{3}}$

단계 1.6.4.2

$- 24$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

$\frac{8 (- x) + 8 (- 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

단계 1.6.4.3

$8 (- x) + 8 (- 3)$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

$\frac{8 (- x - 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

단계 1.6.5

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{8 (- (x) - 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

단계 1.6.6

$- 3$ 을 $- 1 (3)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{8 (- (x) - 1 (3))}{{(x - 1)}^{3}}$

단계 1.6.7

$- (x) - 1 (3)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{8 (- (x + 3))}{{(x - 1)}^{3}}$

단계 1.6.8

$- (x + 3)$ 을 $- 1 (x + 3)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{8 (- 1 (x + 3))}{{(x - 1)}^{3}}$

단계 1.6.9

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{8 (x + 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

단계 1.7

$x = 5$ 일 때 도함수의 값을 계산합니다.

$- \frac{8 ((5) + 3)}{{((5) - 1)}^{3}}$

단계 1.8

간단히 합니다.

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단계 1.8.1

$5$ 를 $3$ 에 더합니다.

$- \frac{8 \cdot 8}{{(5 - 1)}^{3}}$

단계 1.8.2

분모를 간단히 합니다.

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단계 1.8.2.1

$5$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$- \frac{8 \cdot 8}{4^{3}}$

단계 1.8.2.2

$4$ 를 $3$ 승 합니다.

$- \frac{8 \cdot 8}{64}$

단계 1.8.3

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

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단계 1.8.3.1

$8$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$- \frac{64}{64}$

단계 1.8.3.2

$64$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.8.3.2.1

공약수로 약분합니다.

$- \frac{64}{64}$

단계 1.8.3.2.2

수식을 다시 씁니다.

$- 1 \cdot 1$

단계 1.8.3.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 1$

단계 2

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

기울기 $- 1$ 과 주어진 점 $(5, 4)$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (4) = - 1 \cdot (x - (5))$

단계 2.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y - 4 = - 1 \cdot (x - 5)$

단계 2.3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.3.1

$- 1 \cdot (x - 5)$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1.1

다시 씁니다.

$y - 4 = 0 + 0 - 1 \cdot (x - 5)$

단계 2.3.1.2

0을 더해 식을 간단히 합니다.

$y - 4 = - 1 \cdot (x - 5)$

단계 2.3.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y - 4 = - 1 x - 1 \cdot - 5$

단계 2.3.1.4

식을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1.4.1

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$y - 4 = - x - 1 \cdot - 5$

단계 2.3.1.4.2

$- 1$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$y - 4 = - x + 5$

단계 2.3.2

$y$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 2.3.2.1

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$y = - x + 5 + 4$

단계 2.3.2.2

$5$ 를 $4$ 에 더합니다.

$y = - x + 9$

단계 3