미적분 예제

$\int \frac{\ln (\sqrt{x})}{x} d x$

단계 1

먼저 $u_{2} = \ln (\sqrt{x})$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = \frac{1}{2 x} d x$ 이므로 $- d u_{2} = \frac{- 1}{2 x} d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u_{2} = \ln (\sqrt{x})$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$\ln (\sqrt{x})$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\ln (\sqrt{x})]$

단계 1.1.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{1}{2}})]$

단계 1.1.3

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $x^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

단계 1.1.3.2

$\ln (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{1}}$ 입니다.

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

단계 1.1.3.3

$u_{1}$ 를 모두 $x^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

단계 1.1.4

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

단계 1.1.5

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

단계 1.1.6

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

단계 1.1.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

단계 1.1.8

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.1.8.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

단계 1.1.8.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

단계 1.1.9

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

단계 1.1.10

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

단계 1.1.11

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 에 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

단계 1.1.12

식을 간단히 합니다.

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단계 1.1.12.1

$x^{\frac{1}{2}}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.1.12.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.1.13

분모를 간단히 합니다.

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단계 1.1.13.1

지수를 더하여 $x^{\frac{1}{2}}$ 에 $x^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 1.1.13.1.1

$x^{\frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}$

단계 1.1.13.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}$

단계 1.1.13.1.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1 + 1}{2}}}$

단계 1.1.13.1.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2 x^{\frac{2}{2}}}$

단계 1.1.13.1.5

$2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{2 x^{1}}$

단계 1.1.13.2

$2 x^{1}$ 을 간단히 합니다.

$\frac{1}{2 x}$

단계 1.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int 2 u_{2} d u_{2}$

단계 2

$2$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 \int u_{2} d u_{2}$

단계 3

멱의 법칙에 의해 $u_{2}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ 가 됩니다.

$2 (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

$2 (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ 을 $2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$

단계 4.2

$2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$ 을 $1 {u_{2}}^{2} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$1 {u_{2}}^{2} + C$

단계 4.3

${u_{2}}^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

${u_{2}}^{2} + C$

단계 5

$u_{2}$ 를 모두 $\ln (\sqrt{x})$ 로 바꿉니다.

$\ln^{2} (\sqrt{x}) + C$